Quotients égaux
• Un quotient de deux nombres relatifs ne change pas quand on multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre relatif non nul.
• Un quotient de deux nombres relatifs ne change pas quand on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
• Soient a, b et k des nombres avec b 0 et k 0 : a b=
a×k b×k et
a b=
a÷k b÷k.
Exemples : A =−14
21 =−2×7 3×7 =−2
3 B =−45
−35=9×(−5) 7×(−5)=9
7 C = 15
−7= 15×(−1)
(−7) ×(−1)=−15 7 =−15
7
Réduction au même dénominateur
Réduire deux quotients au même dénominateur, c'est déterminer des quotients égaux à chacun de ces quotients, ayant le même dénominateur.
Exemple 1 :9 5et 2
Les dénominateurs 15 et 5 sont multiples l'un de15 l'autre, donc le plus petit multiple commun à 5 et 15 est 15, et on a :9
5=9×3 5×3=27
15 et 2 15. Exemple 2 :2
7 et3 8
Les dénominateurs 7 et 8 n'ont aucun diviseur commun autre que 1, donc le plus petit multiple commun est 7 × 8 = 56, et on a :
2
7=2×8 7×8=16
56 et 3
8=3×7 8×7=21
56.
Exemple 3 : 2 9et 5
On cherche le plus petit multiple commun12 non nul aux dénominateurs 9 et 12.
Multiples de 9 : 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54,...
Multiples de 12 : 0, 12, 24, 36, 48, 60,...
Le plus petit multiple commun à 9 et 12 est 36, et on a :
2
9 =2×4 9×4 = 8
36 et 5
12 = 5×3 12×3= 15
36
Fractions de même dénominateur
Deux nombres en écriture fractionnaire de même
dénominateur positif sont rangés dans le même ordre que leur numérateur.
Exemple : On veut comparer−9 10 et 7
−10. 7
−10=−7
10 donc il suffit de comparer les fractions−9 10 et−7
10. Comme − 9 − 7, on en déduit que−9
10 −107 et donc que−9 10 7
−10.
Fractions : comparaison et addition • N2
Égalité de quotients
1
Comparaison de deux fractions
2
Propriétés
A
B
Définition
A
Propriété
18
32
25
Fractions de dénominateurs différents
Pour comparer deux nombres en écriture fractionnaire de numérateurs différents, on les réduit au même dénominateur, puis on applique la propriété précédente.
Exemple 1 :
On veut comparer les nombres 1,2 4 et 5,7
20. On réduit les deux nombres en écriture fractionnaire au même dénominateur.
Comme 20 est un multiple de 4, le plus petit dénominateur commun est 20.
1,2
4 =1,2×5 4×5 = 6
20 et 5,7 20 6 5,7 d'où 6
20 5,720
Donc1,2 4 5,7
20
Exemple 2 :
On veut comparer les nombres −5 7 et−8
11 .
On réduit les deux fractions au même dénominateur. Comme 7 et 11 n'ont pas de diviseur commun, le plus petit multiple commun à ces deux nombres est leur produit 7 × 11 = 77.
−5
7 =−5×11
7×11 =−55
77 et −8
11 =−8×7
11×7 =−56 77
− 55 − 56 d'où−55
77 −56
77 Donc−5
7 −8
11
Fractions de même dénominateur
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur, il suffit d'additionner (ou de soustraire) les numérateurs, et on garde le dénominateur commun.
Pour tous nombres a, b et c où c est non nul : a c
b c =
ab c et
a c −
b c =
a−b c
Exemples : A =7
5 6,1
5 = 76,1
5 = 13,1
5 et B =19 8 −5
8 = 19−5 8 =14
8 =7 4
Fractions de dénominateurs différents
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire de dénominateurs différents, on commence par les réduire au même dénominateur, puis on applique la propriété précédente.
Exemple 1 : C =7
3 6 12 C =7×4
3×4 6 12 C =28
12 6 12 C =34
12 =17 6
Exemple 2 : D = 6
5−7 3 D = 6×3
5×3−7×5 3×5 D = 18
15−35 15 D =−17
15
Exemple 3 : E = −113
30−−11 12 E =−1×60
1×60 13×2
30×211×5 12×5 E =−60
60 26 6055
60 E =21
60 = 7×3 20×3 = 7
20
N2 • Fractions : comparaison et addition
43 70
Addition et soustraction
3
A
B
Propriété
B
Propriété
Propriété
26
