D1976. Une curieuse propriété
Problème proposé par Dominique Roux
La médiatrice d'une corde MN d'un cercle coupe ce cercle en X et Y et coupe MN en Z.
P étant un point du cercle (NXZ), la droite PY recoupe ce second cercle en Q.
Montrer que le segment [MZ] est vu depuis les points P et Q sous un même angle modulo π.
Par l'inversion de pôle Z qui échange M et N et aussi X et Y, P devient P', Q devient Q', le cercle PXZQN devient la droite Q'MP'Y et la droite PQY devient le cercle XZP'Q'.
La puissance de Y par rapport à ce cercle est : YP'.YQ' = YX.YZ , mais dans le triangle rectangle YMX on a YX.YZ = YM². On conclut YP'.YQ' = YM².
Soit M1 le symétrique de M par rapport à Y. De l'égalité YM² = YM1² = YP'.YQ' on déduit que les points Q'P'MM1 sont en division harmonique. Le faisceau des droites NM, NM1, NQ', NP' est harmonique,et, comme NM et NM1 sont perpendiculaires, ce sont les bissectrices de l'angle P'NQ'.
L'inversion précédente transforme les droites NP' et NQ' qui sont symétriques par rapport à la droite MN, en deux cercles MPZ et MQZ également symétriques par rapport à la droite MN. Dans ces deux cercles de même rayon, les angles inscrits MPZ et MQZ interceptent des arcs symétriques donc le segment [MZ] est vu depuis les points P et Q sous un même angle modulo π.
