deux triangles quelconques
§ 1. Énoncé
On considère deux triangles quelconques ABC et A’B’C’ situés dans un même plan. Soient P le point d’intersection des côtés AB et A’B’ et P’ celui des parallèles à ces même droites menées par les sommets C et C’. On définit de façon analogue les points Q et Q’ ainsi que les points R et R’.
Les droites PP’, QQ’ et RR’ sont concourantes en un point O.
Cette propriété, a priori inattendue, a été signalée par Ernest Duporcq.
Elle peut se démontrer de la façon suivante.
§ 2. Lemme
Cherchons une relation entre les côtés des deux triangles ABC et A’B’C’ d’une part et les diagonales PP’ et QQ’.
On constate tout d’abord que ABCD, A’B’D’C’, UPU’P’, TQT’Q’
sont par construction des parallélogrammes. On notera S, S’, Σ et Σ’
leurs aires respectives.
On notera également hA, hB, hC les hauteurs du triangle ABC abais- sées à partir des sommets A, B et C, et hA, hB, hC celles du triangle A’B’C’ menées à partir des sommets A’, B’ et C’.
On a :
sin
sin sin
C C
C
C
PU PU P PU h PU h S AB h AB PU P
S A B h A B PU P
dont on tire :
sin sin
S S
PU PU
AB P A B P
Par ailleurs :
sin sin
PU AB PU S
PU AB AB
PU AB AB AB A B P
PU A B PU S
PU A B A B
PU A B A B AB A B P
Il en résulte que :
2 2 2
sin
PU PU S S AB A B
AB A B P
c’est-à-dire :
S S sin
AB A B P
d’où :
PU AB PU A B
S S
et :
' AB A B
PP PU PU
S S
Cette relation entre la diagonale d’un parallélogramme et les côtés et aires de deux parallélogrammes quelconques construits sur ses deux côtés opposés a un caractère général. On a en particulier :
' AC A C
QQ S S
§ 3. Une direction remarquable
Intéressons-nous à la direction de la droite RR’ qui joint l’intersection des côtés BC et B’C’ d’une part et celle des parallèles à ces côtés me- nées par les sommets A et A’.
On notera E et E’ les intersections avec CP’ et C’P’ des parallèles aux côtés BC et B’C’ menées par A et A’ respectivement.
On remarque que les aires des parallélogrammes ABCD et ABCE sont égales. Il en va de même pour les parallélogrammes A’B’D’C’ et A’B’C’E’.
Il en résulte, par application du lemme démontré plus haut, que : ' ' '
' CB C B
RR S S
Κ étant un facteur de proportionnalité égal à la surface du parallélo- gramme construit sur les droites parallèles BR et B’R d’une part et AR’
et A’R’ d’autre part.
§ 4. Effet de la translation d’un des triangles le long d’un de ses côtés
Choisissons un point C1 situé sur la droite-support de BC et transla- tons le triangle ABC de façon à faire coïncider C avec C1. On obtient le triangle A1B1C1. Les parallélogrammes PU P U et QT Q T sont translatés en PU P U1 1 1 1 et Q T Q T1 1 1 1 par glissement le long de UC et de TA respectivement.
Les diagonales PP et Q Q se coupent en O1 (voir figure page sui- vante).
Caractérisons la direction de la droite OO1.
On observe que les aires des parallélogrammes U P P U 1 1 et PP PP 1 1 sont égales (car les triangles PP U et P P U1 1 1 sont égaux). On les notera 1.
De même pour celles de QT T Q1 1 etQQ Q Q 1 1 qu’on notera 1. En vertu du lemme démontré ci-dessus :
1 1
1 1
P P QQ OO
Or il est manifeste que 1 1 CC BC1 ce qui conduit à :
1 1
1
' '
BC P P QQ
OO CC
Il résulte de :
PP AB A B
S S
et de :
'
QQ AC A C
S S
que :
1 1
1
1 1
1 1
1 1
' '
1 BC P P QQ
OO CC
BC AC A C AB A B
CC S S S S
BC BC B C BC
CC S S K CC RR
On en conclut que le lieu du point O1 quand on translate le triangle ABC le long de la direction du côté BC est une droite parallèle à RR’
et passant par O.
Lorsqu’on translate le triangle A’B’C’ le long de la direction B’C’, on démontre de la même façon que le lieu point O2 est aussi la parallèle à RR’ passant par O.
Les aires des parallélogrammes PP P P 2 2 et UP P U 2 2 sont en effet identiques et nous les noterons 2. Il en va de même pour les parallé- logrammes QQ Q Q 2 2 et Q QTT2 2 dont l’aire commune sera notée 2. On remarque alors que 2 2 C C C C2 et on achève le calcul comme dans le cas d’ABC.
Reste à montrer que cette droite passe par R pour établir la propriété recherchée.
Pour cela, faisons simplement glisser le triangle ABC le long de BC et le triangle A’B’C’ le long de B’C’ de façon que C et C’ viennent coïncider avec R. On obtient la configuration ci-dessous :
sur laquelle il est manifeste que les transformées de PP’ et de QQ’
sont P R1 et RQ1 et que les points O1 et O2 sont confondus avec R.
On en conclut que le point O est bien sur la droite RR’, ce qui achève la démonstration.