G242. Comment gagner 1000 euros
Dans ce jeu radiodiffusé où vous pouvez gagner mille euros, l'animateur vous présente dix nombres entiers distincts tirés au hasard entre 1 et 100 inclus et vous avez une minute pour repérer parmi eux deux ensembles disjoints* tels que les sommes de leurs éléments sont identiques. Vous êtes un grand champion du calcul mental. Démontrer que vous êtes certain de gagner.
Pour les plus courageux : que se passe-t-il si au lieu de dix nombres, l'animateur vous en présente neuf ? huit ?
*dont l'union ne donne pas nécessairement les dix nombres.
Solution de Paul Voyer:
La somme des dix nombres tirés est au plus égale à 91+92+93+94+95+96+97+98+99+100=955.
Il y a 210=1024valeurs possibles pour les sommes partielles (selon que chacun des dix nombres est pris ou non dans la somme partielle).
Ces sommes partielles sont toutes inférieures ou égales à la somme des dix nombres, donc il existe des doublons dans les sommes partielles, il suffit d'en identifier un.
Si les deux sommes partielles constituant ce doublon ont des éléments en commun, alors les sommes obtenues en en retirant les éléments communs forment elles aussi un doublon, et sont bien constituées d'éléments distincts.
Elles constituent une réponse gagnante.
