G242. Comment gagner 1000 euros
Un ensemble à 10 éléments possède 210 = 1024 sous-ensembles distincts. La somme valant au maximum 91 +· · ·+ 100<1000<1024, d’après le principe de Dirichlet, il existe donc 2 sous-ensembles distinctsAet B de même somme.
SiC =A∩B, alors les 2 sous-ensemblesA\C et B\C sont de plus disjoints et permettent à coup sûr de gagner pour un champion de calcul mental.
Avec 9 éléments cela semble encore vrai, mais je ne sais pas le démontrer.
Avec 8 éléments, même si dans le cas général on peut gagner, pour autant on ne peut pas en être toujours certain ; par exemple, on peut vérifier que l’ensemble {40,60,71,77,80,82,83,84}ne permet pas de trouver 2 sous-ensembles disjoints de même somme.
Références :
102 combinatorics/subsets.p
Integer sets with distinct subset sums
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