si on forme tous les sous-ensembles non vides avec ces 10 nombres, il y en a et, par le principe des tiroirs, deux sous-ensembles diff´erents ont mˆeme total

Enonc´e n^oG242 (Diophante) Comment gagner mille euros

Dans ce jeu radiodiffus´e o`u vous pouvez gagner mille euros, l’animateur vous pr´esente dix nombres entiers distincts tir´es au hasard entre 1 et 100 inclus et vous avez une minute pour rep´erer parmi eux deux ensembles disjoints* tels que les sommes de leurs ´el´ements sont identiques. Vous ˆetes un grand champion du calcul mental. D´emontrer que vous ˆetes certain de gagner.

Pour les plus courageux : que se passe-t-il si au lieu de dix nombres, l’animateur vous en pr´esente neuf ? huit ?

* dont l’union ne donne pas n´ecessairement les dix nombres.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Avec 10 nombres, on est assur´e que les deux ensembles existent. En effet, les nombres ´etant distincts, leur total ne d´epasse pas 955 ; si on forme tous les sous-ensembles non vides avec ces 10 nombres, il y en a 2¹⁰−1 = 1023 et, par le principe des tiroirs, deux sous-ensembles diff´erents ont mˆeme total. Il suffit de leur enlever leurs ´el´ements communs ´eventuels pour obtenir les ensembles disjoints demand´es.

Avec 8 nombres, ce n’est plus vrai. Cela d´epend des nombres tir´es. En effet, avec les 8 nombres

40, 60, 71, 77, 80, 82, 83, 84,

on ne peut pas former deux ensembles disjoints de mˆeme total. Voir l’´etude de ce probl`eme dans Quadrature n^o18, pages 33-36. Quelques indications sont donn´ees en annexe.

C’est aussi cette ´etude qui permet de dire qu’avec 9 nombres ≤ 100, il existe deux ensembles de mˆeme total. Diophante peut se lancer avec confiance dans la comparaison des sous-ensembles.

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Annexe

Soit un ensembleEdeknombres entiersa1, a2, . . . , ak, tel qu’il n’existe pas deux sous-ensembles ayant mˆeme total. On forme un ensemble F de k+ 1 nombres entiers b, b+a1, b+a2, . . . , b+a_k.

Deux sous-ensembles deF, s’ils ont mˆeme cardinal, ont pour diff´erence de totaux la diff´erencet1−t26= 0 des sous-ensembles homologues deE.

S’ils ont des cardinaux diff´erents m6=n, les totauxmb+t1 etnb+t2

ne pourront pas non plus ˆetre ´egaux si best pris assez grand.

En prenantb juste suffisant pour queF n’ait pas deux sous-ensembles ayant mˆeme total, on construit de proche en proche des ensembles de k= 1, 2, . . . entiers ayant cette propri´et´e.

On v´erifie directement, pour les petites valeurs de k, que ces ensembles sont optimaux, au sens que leur plus grand ´el´ement est aussi petit que possible : tout ensemble de k entiers tous strictement inf´erieurs `a ce plus grand ´el´ement admet deux sous-ensembles de mˆeme total.

Cette construction se traduit par le tableau suivant.

k ak,i

1 1 2 1,2 3 2,3,4 4 3,5,6,7 5 6,9,11,12,13 6 11,17,20,22,23,24

On voit que la suite des ensembles peut ˆetre d´ecrite commpl`etement par la suite des premiers termes :a_k,iest la somme des premiers termes u_j =a_j,1 des lignes k−i+ 1≤j≤k. En particulier a_k,k =^Pk₁u_j.

Pierre Barnouin a d´etermin´e par ordinateur les 17 premiers termes de la suiteuj :

u1 = 1, 1, 2, 3, 6, 11, 20, 40, 77, 148, 285, 570, 1120, 2200, 4323, 8498, 16996.

La loi de formation de cette suite reste myst´erieuse. On observe cepen- dant que la suite 2u_j −u_j+1 emprunte ses valeurs `a la suite u_j, avec intercalation de z´eros quandj−1 est un nombre triangulaire :

2u2−u3= 0, 2u3−u4= 1, 0, 1, 2, 0, 3, 6, 11, 0, 20, 40, 77, 148, 0.

Cela laisse ouvertes deux conjectures :

a)– la loi de formation qui apparaˆıt sur les premiers termes est- elle g´en´erale, et fournit-elle toujours des ensembles sans deux sous- ensembles de mˆeme total ?

b)– les ensembles ainsi form´es sont-ils optimaux pour tout k au sens

´evoqu´e ci-dessus, permettant d’affirmer qu’un ensemble de k entiers

< a_k,k admet deux sous-ensembles de mˆeme total ?

La suiteuj est r´epertori´ee A005230 dans l’Online Encyclopaedia of In- teger Sequences. La suite des a_k,k qui lui correspond est r´epertori´ee A005318 dans l’OEIS, avec mention d’une conjecture de J.H. Conway et R.K. Guy, ´equivalente `a a) ci-dessus, et qui aurait ´et´e prouv´ee en 2006 : un ensemble de k entiers construit avec cette loi de formation n’a pas deux sous-ensembles de mˆeme total.

Pour r´epondre au probl`eme G242, on observe que a_8,8 = 84, et que a9,9 = 161 ; l’´ecart entre 100 et 161 semble suffisant pour conclure qu’avec 9 entiers ≤ 100 il doit exister deux sous-ensembles de mˆeme total, mˆeme si la conjecture b) est en d´efaut et que l’ensemblea_9,i n’est pas optimal.

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