G149. Gagner contre le hasard ****
Zig et Puce conviennent de jouer 100 parties du jeu suivant : au cours d'une partie, chacun écrit sur une bande de papier trois nombres entiers positifs pas nécessairement distincts dont la somme est égale à 2016, z1 ≤ z2 ≤ z3 écrits par Zig et p1 ≤ p2 ≤ p3 écrits par Puce.Puis ils comparent les six nombres: z1 à p1 puis z2 à p2 et enfin z3 à p3. Le joueur dont deux de ses nombres sont strictement plus élevés que ceux de l'adversaire gagne la partie. A défaut la partie est déclarée nulle.
A chaque partie, Puce fait confiance à un programme informatique qui génère aléatoirement les trois entiers p1,p2 et p3 . Zig à l'inverse choisit ses trois entiers z1,z2 et z3 afin d'optimiser ses chances de gain et fait en sorte de ne jamais afficher le même triplet d'entiers.
Démontrer que l'espérance mathématique du nombre de parties gagnées par Zig est au moins égale à 75.
Si la somme est 90 au lieu de 2016, nous avons 675 triplets possibles.
Un automate trouve les 100 triplets donnant un maximum de chances de gain pour Zig : (classés dans l'ordre croissant concernant les chances de gain)
[412, [11, 37, 42]], [413, [11, 34, 45]], [413, [11, 35, 44]], [413, [11, 36, 43]], [413, [15, 30, 45]], [414, [12, 32, 46]], [414, [13, 31, 46]], [414, [16, 30, 44]], [416, [17, 30, 43]], [417, [18, 30, 42]], [418, [12, 33, 45]], [418, [14, 31, 45]], [419, [19, 30, 41]], [420, [12, 34, 44]], [420, [13, 32, 45]], [420, [20, 30, 40]], [421, [15, 31, 44]], [422, [12, 35, 43]], [422, [21, 30, 39]], [423, [12, 36, 42]], [423, [22, 30, 38]], [424, [12, 37, 41]], [424, [12, 38, 40]], [424, [12, 39, 39]], [424, [13, 33, 44]], [424, [14, 32, 44]], [424, [16, 31, 43]], [425, [23, 30, 37]], [426, [24, 30, 36]], [427, [17, 31, 42]], [428, [13, 34, 43]], [428, [25, 30, 35]], [429, [15, 32, 43]], [429, [26, 30, 34]], [430, [14, 33, 43]], [430, [18, 31, 41]], [431, [13, 35, 42]], [431, [27, 30, 33]], [432, [28, 30, 32]], [433, [16, 32, 42]], [433, [19, 31, 40]], [434, [13, 36, 41]], [434, [29, 30, 31]], [435, [14, 34, 42]], [435, [30, 30, 30]], [436, [13, 37, 40]], [436, [15, 33, 42]], [436, [20, 31, 39]], [438, [13, 38, 39]], [438, [17, 32, 41]], [439, [21, 31, 38]], [440, [14, 35, 41]], [442, [16, 33, 41]], [442, [18, 32, 40]], [442, [22, 31, 37]], [443, [15, 34, 41]], [444, [14, 36, 40]], [445, [23, 31, 36]], [447, [19, 32, 39]], [448, [14, 37, 39]], [448, [17, 33, 40]], [448, [24, 31, 35]], [449, [15, 35, 40]], [450, [16, 34, 40]], [451, [14, 38, 38]], [451, [20, 32, 38]], [451, [25, 31, 34]], [454, [18, 33, 39]], [454, [26, 31, 33]], [455, [15, 36, 39]], [456, [21, 32, 37]], [457, [27, 31, 32]], [458, [16, 35, 39]], [458, [17, 34, 39]], [460, [15, 37, 38]], [460, [19, 33, 38]], [460, [22, 32, 36]], [460, [28, 31, 31]], [465, [16, 36, 38]], [465, [18, 34, 38]], [465, [23, 32, 35]], [466, [20, 33, 37]], [467, [17, 35, 38]], [469, [24, 32, 34]], [472, [16, 37, 37]], [472, [21, 33, 36]], [473, [19, 34, 37]], [474, [25, 32, 33]], [476, [17, 36, 37]], [476, [18, 35, 37]], [478, [22, 33, 35]], [478, [26, 32, 32]], [480, [20, 34, 36]], [484, [23, 33, 34]], [485, [19, 35, 36]], [486, [18, 36, 36]], [488, [21, 34, 35]], [490, [24, 33, 33]], [494, [20, 35, 35]], [495, [22, 34, 34]]
[[412, [11, 37, 42]] signifie que les triplet [11,37,42] bat 412 des 675 triplets possibles.
Finalement, pour une somme de 90, Zig a une espérance de gain d'au moins 412/675 = 61.04%
Donc sur 100 parties, Zig peut espérer en gagner au moins 61.
Ci-dessous, les diverses espérances de gain en fonction de la somme à atteindre : (Dans ce tableau les sommes sont des multiples de 3 tout comme 2016)
Ce tableau a été obtenu à l'aide d'un automate.
La liste des triplets donnant une somme de 2016 comprend 338'688 éléments.
Cela induit un temps de calcul beaucoup trop long pour ma machine.
La troisième colonne étant croissante, on déduit que pour une somme de 2016, l'espérance de gain sur cent parties sera ≥75
