Q1) Le tableau ci-dessous montre que r(2016) = 9, et que 2023 est

A337. Résilience

On désigne par φ(n) la fonction indicatrice d'Euler qui à tout entier n > 0 associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n inclus et premiers avec n. Par exemple φ(6) = 2 car les deux entiers 1 et 5 sont premiers avec 6.

Par convention, la résilience r(n) de l'entier n est égale au plus petit nombre d'itérations de la fonction φ composée r(n) fois de suite avec elle-même tel que: φ(φ(φ(..r(n) fois ..(φ(n))...) = 1. On écrit φ[r(n)] (n) = 1.

Par exemple r(6) = 2 car φ[2](6) = φ(φ(6)) = φ(2) = 1

Q₁ Déterminer le plus petit entier n > 2016 tel que r(n) = r(2016) + 2

Q₂ Montrer que pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, on sait trouver un entier n tel que r(n) = k.

Application numérique: trouver un entier n à trois chiffres tel que r(n ) = 10 et un entier n à cinq chiffres tel que r(n )₁ ₁ ₂ ₂

= 17.

Q₃ Pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, trouver le plus grand entier n tel que r(n) = k.

Application numérique: k = 12 .

Q1) Le tableau ci-dessous montre que r(2016) = 9, et que 2023 est le plus petit entier n > 2016 tel que r(n) = 11

2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023

576 2016 1008 1344 800 1932 672 1632

292 576 288 384 320 528 192 512

64 292 96 128 128 160 64 256

32 64 64 64 64 64 32 128

16 32 32 32 32 32 16 64

8 16 16 16 16 16 8 32

4 8 8 8 8 8 4 16

2 4 4 4 4 4 2 8

1 2 2 2 2 2 1 4

1 1 1 1 1 2

1

Q2)

φ

(2^k)= 2^{k – 1} et r(2^k)= k

r(256) = 8,

φ

(640) = 256, puis 641 est premier,

φ

(641) = 640,

φ

(

φ

(641)) = 256, donc

r

(641) = 10

2¹⁶

= 65536 et 65537 est un nombre premier, donc φ

(65537) = 65536, r(65536) = 16, et r(65537) = 17

Q3) Pour k = 2, resp.3, 4, le plus grand entier n tel que r(n) = k semble être 6, resp. 18, 54.

On a φ

(18)=6,

φ

(54)=18 etc..

Si on admet que le plus grand entier n tel que r(n) = k est 2

x

3

^{k – 1}

, l'application numérique pour k=12 conduit à n = 2

x

3

¹¹

, soit n = 354294.

354294 est le plus grand entier n tel que r(n) = 12.