Zig et Puce conviennent de jouer 100 parties du jeu suivant : au cours d'une partie, chacun écrit sur une bande de papier trois nombres entiers positifs pas nécessairement distincts dont la somme est égale à 2016, z₁≤ z₂ ≤ z₃ écrits par Zig et p₁≤p₂≤ p₃ écrits par Puce.Puis ils comparent les six nombres: z₁ à p₁ puis z₂ à p₂ et enfin z₃ à p₃. Le joueur dont deux de ses nombres sont strictement plus élevés que ceux de l'adversaire gagne la partie. A défaut la partie est déclarée nulle.
A chaque partie, Puce fait confiance à un programme informatique qui génère aléatoirement les trois entiers p₁, p₂ et p₃ . Zig à l'inverse choisit ses trois entiers z₁, z₂ et z₃ afin d'optimiser ses chances de gain et fait en sorte de ne jamais afficher le même triplet d'entiers.
Démontrer que l'espérance mathématique du nombre de parties gagnées par Zig est au moins égale à 75.
Chaque choix peut être représenté par un point d’un triangle équilatéral ABC de hauteur 2016, les trois nombres représentant les distances du point aux cotés BC, CA, AB. Il y a 2017*1009=2035153 points possibles. Les solutions ordonnées sont alors situées dans le triangle rectangle OMC, où O est le centre et M le milieu de BC. Chacune peut être engendrée par le choix au hasard des points obtenus par les trois symétries du triangle équilatéral.
Soit P un point situé sur ou à proximité de OM : pour 0≤u≤672, les coordonnées de P sont (u, v, w) avec si u=2p, v=1008-p, w=1008-p, si u=2p+1, v=1007-p, w=1008-p.
Si les parallèles à BC, CA, AB passant par P coupent le triangle OCM en Q , R et S, P n’est pas gagnant face aux points intérieurs aux triangles PMR et PQS : au nombre de u(u+1)/2 et t(t+1)/2 avec t=v-[(2016-w)/2]( si [ ] désigne la partie entière).
Pour 179≤u≤305, le nombre de ces points représente moins du quart des choix au hasard. Il suffit donc à Zig de choisir cent valeurs de u dans cet intervalle.
