G242. Comment gagner 1000 euros
Solution proposée par Philippe Bertran
1. La somme des 10 nombres est au maximum 91 + 92 + 93 + … + 100, soit 955. La somme des éléments d’un sous-ensemble de ces 10 nombres est donc au plus égale à 955.
Puisque le nombre total de sous-ensembles d’un ensemble de 10 éléments est 210, soit 1 024, qui est supérieur à 955, il existe au moins deux sous-ensembles qui ont la même somme. Si ces deux sous-ensembles ont des éléments communs, il suffit de retirer ces éléments communs pour obtenir deux sous-ensembles disjoints de même somme.
Le joueur est donc sûr de gagner.
2. Nous nous proposons maintenant de démontrer que si l’animateur ne présente que 8 nombres, on ne peut pas présumer du résultat.
Il est évident qu’un tel tirage peut être « gagnant » (par exemple s’il contient les nombres 1, 2 et 3).
Montrons qu’il existe aussi des tirages (ou au moins 1) perdants. En l’occurrence, nous allons démontrer que l’on ne peut pas extraire deux sous-ensembles de sommes égales à partir du tirage 100, 99, 98, 96, 92, 84, 68, 36, c'est-à-dire 100, 100 – 20, 100 – 21, 100 – 22, 100 – 23, 100 – 24, 100 – 25, 100 – 26.
Un sous-ensemble de k nombres pris parmi ces huit a une somme de la forme (100k – S) où S est 0 ou une somme de puissances de 2.
Supposons que deux sous-ensembles E et E’ aient le même total : 100k – S = 100k’ – S’ (1)
On ne peut pas avoir k = k’ car si c’était le cas, on aurait aussi S = S’. Or S et S’ sont des sommes de k termes pris parmi 8 nombres dont l’écriture binaire est 0, 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000. Leur écriture en binaire comprend donc k chiffres 1, qui seront à des places différentes dans S et S’, correspondant aux puissances de 2 des termes composant S et S’ qui sont par hypothèse différents. On aurait donc S ≠ S’, d’où contradiction.
Par conséquent, k ≠ k’.
L’équation (1) s’écrit S – S’ = 100(k – k’) donc (S – S’) est un multiple de 100.
Or S + S’ ≤ 1 + 2 + 4 + 8 + … + 64 , soit S + S’ ≤ 127 (2) donc S ≤ 127 et S’ ≤ 127 .
En appelant S le plus grand des 2 nombres S et S’, on en déduit que S – S’ ≤ 127 . La seule possibilité est donc S – S’ = 100 (3)
d’où k – k’ = 1 , c'est-à-dire que E contient un nombre de plus que E’.
En additionnant (2) et (3), on obtient 2S ≤ 227 d’où S ≤ 113 .
Par ailleurs, (3) entraîne 100 ≤ S, d’où 100 ≤ S ≤ 113 et donc 0 ≤ S’ ≤ 13 .
2
100 ≤ S implique que S contienne au moins les deux termes 64 et 32 et une troisième puissance de 2, donc ait au moins 3 termes, et donc que S’ en ait au moins 4.
S’ ≤ 13 implique que S’ contienne au plus les termes 0, 1, 2, 4 et 8. Il ne peut pas les contenir tous les cinq car il serait alors supérieur à 13. S’ est donc un nombre inférieur ou égal à 13 qui est la somme de quatre termes pris parmi 0, 1, 2, 4 et 8. S’ ne peut donc être égal qu’à 7, 11 ou 13.
Et S est une somme trois termes contenant 64, 32 et une troisième puissance de 2, qu’on appellera x, telle que 100 ≤ 64 + 32 + x ≤ 113 , soit 4 ≤ x ≤ 17 . Les seules valeurs possibles sont x = 4, 8 ou 16 , ce qui conduit à S = 100, 104 ou 112. Sachant que S’ = 7, 11 ou 13 , il est impossible de respecter la condition S – S’ = 100.
E et E’ ont donc forcément des sommes différentes.
3. Nous laissons le cas des tirages de 9 nombres à plus courageux…
