A621. Equirépartitions
Problème proposé Par Michel Lafond
Montrer qu’il est possible de répartir l’ensemble des entiers naturels 1,2,3...,2015 en p sous-
ensembles de deux à deux disjoints composés chacun de q termes pour toutes les valeurs entières de p et de q telles que :
1) pq = 2015 2) 1 < p < 2015
3) pour chaque couple (p,q), les sommes des termes des q sous-ensembles sont toutes identiques.
Pour les plus courageux : soit (n, p) un couple d’entiers naturels positifs tels que : 1) p est un diviseur strict de n (p < n)
2) n / p est pair ou n p est impair.
Démontrer qu’on peut partager l’ensemble E = {1, 2, 3, --- , n} en p sous-ensembles ayant le même cardinal et la même somme.
Q1) Pour 2015 on peut avoir (p,q) : (5, 403), (403, 5), (13, 155), (155, 13), (31, 65) ou (65, 31).
Pour 5 sous ensembles de 403 nombres, une répartition possible est :
1 10 13 20 21 30 31 40 41 .. 2011
2 7 15 19 22 29 32 39 42 .. 2012
3 9 12 18 23 28 33 38 43 .. 2013
4 6 14 17 24 27 34 37 44 .. 2014
5 8 11 16 25 26 35 36 45 .. 2015
Quand les 3 premières colonnes sont installées, (fond jaune pale), on peut les faire suivre par un quelconque nombre pair de colonnes. Les nombres 25, 35, 45, …, 2005, 2015 sont ainsi facilement répartis en 5 sous ensembles constitués de nombres de même somme.
Pour 13 sous ensembles de 155 nombres, les 13 colonnes ci-dessous donnent une réponse. Quand les 3 premières lignes sont installées, (fond jaune), on peut les faire suivre par un quelconque nombre pair de lignes. Les nombres 65 + 26k sont ainsi facilement répartis en 13 sous ensembles constitués de nombres de même somme. Pour k=75, 65+26k = 2015 et pour chaque colonne, la somme des nombres qui y figurent est 2015*2016 / 26 = 156240.
Pour p=31 et q=65, on procède de même pour les 3 premières lignes : 1 < j < 31 a[1,j] = j ,
pour i = 2, distinguons j= 2k+1 et j=2k : a[2, 2k+1] = 62 – k, a[2, 2k] = 47 – k . pour i = 3, distinguons j= 2k+1 et j=2k : a[3, 2k+1] = 78 – k, a[3, 2k] = 94 – k
On peut faire suivre ces 3 lignes par un quelconque nombre pair de lignes permettant de répartir les 155+62k premiers entiers en 31 sous-ensembles ...Pour k=30 les sommes valent toutes 65520.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
26 19 25 18 24 17 23 16 22 15 21 14 20
33 39 32 38 31 37 30 36 29 35 28 34 27
52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
2002 2001 2000 1999 1998 1997 1996 1995 1994 1993 1992 1991 1990 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25 26 27 28 29 30 31
62 46 61 45 60 44 59 43 58 42 57 41 56 50 34 49 33 48 32 47
78 93 77 92 76 91 75 90 74 89 73 88 72 66 81 65 80 64 79 63
124 123 122 121 120 119 118 117 116 115 114 113 112 100 99 98 97 96 95 94 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 149 150 151 152 153 154 155
Les cas (p,q) = (403, 5), (155, 13), (65, 31) se traitent de la même façon . Les (q – 3 ) dernières lignes sont remplies de gauche à droite et de droite à gauche alternativement par les entiers consécutifs, dans l'ordre croissant. ( de 1210 à 2015, de 466 à 2015, de 196 à 2015 ) Q2) Cas général :
Si n/p est pair, on remplit le tableau à p colonnes et q lignes naturellement par les entiers dans l'ordre croissant, les lignes impaires de gauche à droite, et les lignes paires (y compris la dernière ligne), de droite à gauche. Les p colonnes donnent la même somme : s = (n+1)n/(2p)
Si np est impair, p et q sont impairs, (c'est le cas pour p*q = 2015 dans les exemples supra), a[1,j] = j ; a[2, 2k+1] = 2p – k et a[2, 2k] = (3p+1)/2 – k ;
a[3, 2k+1] = (5p+3)/2 – k et a[3, 2k] = 3p+1 – k . Voila pour les trois premières lignes . Les lignes suivantes, qui sont en nombre pair, se remplissent par les entiers dans l'ordre croissant, de 3p+1 à n, alternativement de gauche à droite et de droite à gauche.
