A 621. Equirépartitions. ***
Montrer qu’il est possible de répartir l’ensemble des entiers naturels 1, 2, 3..., 2015 en p sous-ensembles de deux à deux disjoints composés chacun de q termes pour toutes les valeurs entières de p et de q telles que : 1) pq = 2015
2) 1 < p < 2015
3) pour chaque couple (p, q), les sommes des termes des q sous-ensembles sont toutes identiques.
Pour les plus courageux : soit (n, p) un couple d’entiers naturels positifs tels que : 1) p est un diviseur strict de n (p < n)
2) n / p est pair ou n p est impair.
Démontrer qu’on peut partager l’ensemble E = {1, 2, 3, ---, n} en p sous-ensembles ayant le même cardinal et la même somme.
Solution proposée par Michel Lafond:
Puisque il y a 6 cas à envisager :
Cas 1 :
1 8 15 16 2015 17 2014 …
2 9 13 …
2 10 11 …
4 6 14 …
5 7 12 … 1015 1016
Ce tableau est construit ainsi :
Les 3 premières colonnes contiennent les entiers de 1 à 15, et les 5 sommes en lignes valent 24.
Il reste les 2000 entiers de 16 à 2015 qui sont groupés en 1000 paires de somme 2031 : 16 + 2015 = 17 + 2014 = 18 + 2013 = … = 1015 + 1016.
Ces 1000 paires occupent les 400 colonnes de droite du tableau. [1000 × 2 = (403 – 3) × 5]
Chaque ligne a pour somme 24 + 400 × 2031 = 406224.
Cas 2 :
1 20 39 40 2015 41 2014 …
2 21 37 …
2 22 35 …
4 23 33 …
5 24 31 …
6 25 29 7 26 27 8 14 38 9 15 36 10 16 34 11 17 32 12 18 30
13 19 28 1027 1028
Ce tableau est construit ainsi :
Les 3 premières colonnes contiennent les entiers de 1 à 39, et les 13 sommes en lignes valent 60.
Il reste les 1976 entiers de 40 à 2015 qui sont groupés en 988 paires de somme 2055 : 40 + 2015 = 41 + 2014 = 42 + 2013 = … = 1027 + 1028.
Ces 988 paires occupent les 152 colonnes de droite du tableau. [988 × 2 = (155 – 3) × 13]
Chaque ligne a pour somme 40 + 76 × 2055 = 156240.
Les 4 autres cas se traitent de la même manière en utilisant l’algorithme ci-dessous qui traite le cas général.
* * * * * * * * * * * Posons n = p q où q est un entier supérieur à 1 puisque p < n.
Il faut partager E = {1, 2, 3, ---, n} en p sous-ensembles de cardinal q et de somme
Premier cas : est pair.
n = 2 q’ p est pair, on peut donc partager E en q’ p paires {x ; n + 1 – x} de sommes n + 1.
En réunissant q’ de ces paires, on obtient un sous-ensemble A de E dont le cardinal est et dont la somme est
Il suffit de répéter p fois ce processus et le problème est résolu.
Exemple : n = 20 p = 5. Donc q = 4 et S = 42.
Les 10 paires sont les {x ; 21 – x} et on obtient le partage de E en 5 sous-ensembles : 1 20 2 19 somme 42
3 18 4 17 somme 42 5 16 6 15 somme 42 7 14 8 13 somme 42 9 12 10 11 somme 42
Second cas : le produit n p est impair. [C’est le cas pour n = 2015]
n ; p et donc sont impairs, donc la méthode précédente ne marche pas.
Posons q = 3 + 2 t. [t est un entier naturel éventuellement nul].
La somme à obtenir dans chaque sous-ensemble est . Posons .
On va pour chaque sous-ensemble (de cardinal q = 3 + 2 t) assembler :
Un triple {x, y, z} de somme et t paires de sommes (Une telle paire ne peut pas se réduire à un singleton puisque est impair).
Chaque sous-ensemble aura bien pour somme :
comme on le voit en utilisant n = p q = p (2 t + 3) et en remarquant que :
Les deux membres de cette dernière égalité étant égaux à
Formation des triples :
Il nous faut p triples qu’on va constituer avec les éléments de {1, 2, 3, ---, 3p} de la manière suivante :
1
3 p
2
3 p – 2
3 3 p - 4
- - - - - - - - -
i
3 p – 2 i + 2 somme - - - - - - - - -
2 p 2 p + 1
p + 1 3 p – 1
p + 2 3 p – 3
- - - - - - - - -
j
4 p – 2 j + 2 somme - - - - - - - - -
p
2 p + 2
On a utilisé pour les triples, tous les entiers de 1 à 3 p, et chaque triple a pour somme S3. Si q = 3, c’est terminé et sinon : (On rappelle que q = 3 + 2 t).
Il reste à utiliser pour les paires, l’ensemble R de tous les entiers compris entre 3 p + 1 et n = p q dont la somme est
. Puisqu’il y a p sous-ensembles à constituer, chacun devra donc contenir q – 3 = 2 t éléments de R de somme . Ce qui sera réalisé simplement en réunissant t paires de sommes
L’aspect général est le suivant :
Dans la colonne de gauche, on a, en descendant, les entiers de 1 à p.
Dans la deuxième colonne, la moitié inférieure contient, en descendant, les entiers de p + 1 à et la moitié supérieure contient, en descendant, les entiers de
Enfin, dans la troisième colonne, la moitié supérieure contient, en montant, les entiers impairs de et la moitié inférieure contient, en montant, les entiers pairs de
Exemples :
n = 21 et p = 7. On a q = 3 donc et les triples suffiront : Chaque triple aura pour somme
1 11 21
chaque ligne a pour somme 33
2 12 19
3 13 17
4 14 15
5 8 20
6 9 18
7 10 16
n = 63 et p = 9. On a q = 7 On utilisera un triple et 2 paires (3 + 2 + 2 = 7) : Chaque triple aura pour somme
. Chaque ligne contiendra t = 2 paires de somme .
Les paires sont choisies dans R = {28, 29, ---, 63} et sont toutes de la forme {x ; 91 – x} : 1 14 27 28 63 29 62
chaque ligne a pour somme : 42 + 2 × 91 = 224 2 15 25 30 61 31 60
3 16 23 32 59 33 58 4 17 21 34 57 35 56 5 18 19 36 55 37 54 6 10 26 38 53 39 52 7 11 24 40 51 41 50 8 12 22 42 49 43 48 9 13 20 44 47 45 46
triple t paires éventuelles
p sous-ensembles
…………. somme S
somme S
somme S
somme S
etc.
