désigne l'ensemble des entiers impairs entre 0 et n .

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Exercice 1.

Dans tout l'exercice, n désigne un entier naturel non nul, P

n

désigne l'ensemble des entiers pairs entre 0 et n et I

n

désigne l'ensemble des entiers impairs entre 0 et n .

On associe à chaque paramètre complexe a 6 = 0 deux équations d'inconnue z notées E

0

(n, a) et E

1

(n, a)

E

0

(n, a) : X

k∈Pn

n k

z

^k

a

^n−k

= 0

E

1

(n, a) : X

k∈In

n k

z

^k

a

^n−k

= 0

1. Cas particuliers. Former les six équations obtenues pour n = 2 , n = 3 , n = 4 . Dans chaque cas, donner l'ensemble des solutions.

2. Soit λ un nombre complexe non nul, montrer que w est solution de E

0

(n, a) si et seulement si λw est solution de E

0

(n, λa)

3. a. Discuter selon le paramètre complexe w et donner l'ensemble des solutions de l'équation d'inconnue z

a + z a − z = w b. Pour α réel et w = e

^iα

, simplier

w − 1 w + 1

c. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation d'inconnue z a + z

a − z

ⁿ

= 1 On exprimera chaque solution sous une forme simple.

d. En considérant (z + a)

ⁿ

et ( − z + a)

ⁿ

résoudre l'équation E

₁

(n, a) . 4. Une autre idée.

a. Soit x et y deux nombres réels, exprimer avec des sommations les parties réelle et imaginaire de (x + iy)

ⁿ

.

b. Montrer que lorsque θ est un réel tel que cos θ 6 = 0 : cos(nθ)

cos

ⁿ

θ = X

k∈Pn

n k

(i tan θ)

^k

, i sin(nθ) cos

ⁿ

θ = X

k∈In

n k

(i tan θ)

^k

c. En déduire les solutions de E

1

(n, 1) puis retrouver celles de E

1

(n, a) déjà obtenues en 3.d.

d. Déterminer les solutions de E

0

(n, i) puis de E

0

(n, a) .

Exercice 2.

Dans un plan horizontal, on considère un billard circulaire

¹

de rayon 1. Il est identié au disque unité du plan complexe et son bord au cercle unité U de centre 0.

D = { z ∈ C , | z | ≤ 1 } U = { z ∈ C , | z | = 1 }

Une boule (ponctuelle) est lancée à l'instant t = 0 d'un point M

0

(d'axe z

0

) du bord. Elle rebondit contre le bord du billard en des points M

1

, M

2

, · · · , M

i

, · · · d'axes z

1

, z

2

, · · · , z

i

, · · · .

On suppose que son mouvement est rectiligne uniforme (norme de la vitesse égale 1) entre deux chocs et qu'il se poursuit indéniment. Les vitesses entre M

₀

, M

₁

, M

₂

, · · · sont notées

−

→ v

₀

, − → v

₁

, − → v

₂

, · · · . Elles sont de norme 1 et d'axes v

₀

, v

₁

, v

₂

, · · · .

Les chocs sont des réexions élastiques ; c'est à dire que la normale en un point du bord du billard où un choc se produit est la bissectrice intérieure de deux segments de trajectoire consécutifs.

On écrit l'axe de la vitesse initiale sous la forme v

0

= z

0

e

^iα

avec α ∈ [0, 2π[ . M

k−1

M

k

M

k+1

(a) Choc élastique enMk

M

0

−

→ v

0

(b) Vitesse initiale

Fig. 1: Billard

1d'après X 98 PC 1

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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(2)

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1. Quel angle représente α ? Dans quel intervalle doit-il se trouver ? 2. Simplier 1 − 2 cos αe

^iα

sous la forme d'une seule exponentielle.

3. Calcul de M

1

.

a. Préciser géométriquement l'ensemble des points P d'axe w vériant :

∃ λ ∈ R tel que w = z

₀

+ λv

₀

b. Calculer l'axe z

₁

du point M

₁

du bord en lequel se produit le premier choc.

Donner un argument de

^v_z⁰₁

.

4. Calcul de − → v

₁

. Traduire la propriété de réexion élastique en M

₁

par une relation entre des arguments de

^v_z⁰₁

et de

^v_z¹₁

. En déduire

^v_z¹₁

.

5. Montrer qu'il existe β ∈ ]0, 2π[ indépendant de n (à exprimer avec α ) tel que :

∀ n ∈ N

^∗

, z

_n

= z

₀

e

^inβ

6. Quelle est la longueur d'une corde M

_j−1

M

_j

pour j ∈ N

^∗

?

7. Donner une condition nécessaire et susante sur α pour que le mouvement soit pério- dique. Préciser la période et la trajectoire.

8. Autre méthode pour les résultats des questions 4 et 5.

En exploitant symétrie et rotation, former une relation entre

^z^k+1_z_k

et

^z^k−1_z_k

. En déduire une expression de z

k+1

en fonction de z

k

et z

_k−1

.

Que devient cette relation si z

k

= e

^iβ

z

_k−1

? Conclure.

Exercice 3.

Exercices 1. Calculer

n

X

k=0

(k + 1) n

k

2. Discuter suivant le paramètre réel m et résoudre l'inéquation d'inconnue réelle x

(m + 2)x + 1 < 1 + x + x

²

1 − x

3. Soit n un entier supérieur ou égal à 1, et k ∈ { 0, 1, . . . n − 1 }. Montrer que

n k

2n k

−

n k+1

2n k+1

= 1 2

n k

2n−1 k

En déduire une expression simple de

n

X

k=0 n k

2n−1 k

Exercice 4.

1. Préciser le module et un argument de 1 − cos θ e

^iθ

2. trouver des expressions simples des sommes suivantes sous forme de produits.

A =

n

X

k=1

(cos θ)

^k

cos(kθ) B =

n

X

k=0

(cos θ)

^(−k)

cos(kθ)

Exercice 5.

Pour n entier naturel supérieur ou égal 1 et θ réel, on pose

²

D

n

(θ) =

n−1

X

k=−n+1

e

^ikθ

F

n

(θ) = 1 n

n

X

j=1

D

j

(θ)

1. Sans chercher à calculer D

n

, montrer que F

_n

(θ) =

n−1

X

k=−n+1

(1 − | k | n )e

^ikθ

2. Pour θ 6∈ 2π Z, en calculant D

_n

(θ) à l'aide d'une somme de termes en progresssion géométrique, exprimer nF

n

(θ) comme le carré d'un quotient de sinus. (ne pas chercher à utiliser la première question)

2D'aprés CCMP 2001 2 eme épreuve

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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