MPSI B Année 2018-2019 Énoncé DM 2 pour le 28/09 29 juin 2019
Problème
Dans un plan horizontal, on considère un billard circulaire
1de rayon 1. Il est identié au disque unité du plan complexe et son bord au cercle unité U de centre 0.
D = { z ∈ C , | z | ≤ 1 } U = { z ∈ C , | z | = 1 }
Une boule (ponctuelle) est lancée à l'instant t = 0 d'un point M
0(d'axe z
0) du bord. Elle rebondit contre le bord du billard en des points M
1, M
2, · · · , M
i, · · · d'axes z
1, z
2, · · · , z
i, · · · .
On suppose que son mouvement est rectiligne uniforme (norme de la vitesse égale 1) entre deux chocs et qu'il se poursuit indéniment. Les vitesses entre M
0, M
1, M
2, · · · sont notées
−
→ v
0, − → v
1, − → v
2, · · · . Elles sont de norme 1 et d'axes v
0, v
1, v
2, · · · .
Les chocs sont des réexions élastiques ; c'est à dire que la normale en un point du bord du billard où un choc se produit est la bissectrice intérieure de deux segments de trajectoire consécutifs.
On écrit l'axe de la vitesse initiale sous la forme v
0= z
0e
iαavec α ∈ [0, 2π[ . M
k−1M
kM
k+1(a) Choc élastique enMk
M
0−
→ v
0(b) Vitesse initiale
Fig. 1: Billard
1. Quel angle représente α ? Dans quel intervalle doit-il se trouver ? 2. Simplier 1 − 2 cos αe
iαsous la forme d'une seule exponentielle.
3. Calcul de M
1.
a. Préciser géométriquement l'ensemble des points P d'axe w vériant :
∃ λ ∈ R tel que w = z
0+ λv
01d'après X 98 PC 1
b. Calculer l'axe z
1du point M
1du bord en lequel se produit le premier choc.
Donner un argument de
vz01.
4. Calcul de − → v
1. Traduire la propriété de réexion élastique en M
1par une relation entre des arguments de
vz01et de
vz11. En déduire
vz11.
5. Montrer qu'il existe β ∈ ]0, 2π[ indépendant de n (à exprimer avec α ) tel que :
∀ n ∈ N
∗, z
n= z
0e
inβ6. Quelle est la longueur d'une corde M
j−1M
jpour j ∈ N
∗?
7. Donner une condition nécessaire et susante sur α pour que le mouvement soit pério- dique. Préciser la période et la trajectoire.
8. Autre méthode pour les résultats des questions 4 et 5.
En exploitant symétrie et rotation, former une relation entre
zk+1zket
zk−1zk. En déduire une expression de z
k+1en fonction de z
ket z
k−1.
Que devient cette relation si z
k= e
iβz
k−1? Conclure.
Exercice
Dans tout cet exercice, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On considère la suite des nombres impairs que l'on somme par groupes de 1, 2, 3, · · · 1
|{z}
=s1
, 3, 5
|{z}
=s2
, 7, 9, 11
| {z }
=s3
, 13, 15, 17, 19
| {z }
=s4
, · · ·
On dénit ainsi des nombres s
navec n entier naturel non nul. Les premières valeurs sont s
1= 1, s
2= 3 + 5, s
3= 7 + 9 + 11, s
4= 13 + 15 + 17 + 19, · · ·
1. Combien de termes (nombres impairs) la somme s
1+ s
2+ · · · + s
n−1contient-elle ? Quel est le plus grand terme de cette somme ?
2. Quel est le plus petit terme de la somme s
n? (On le notera t
n) En déduire une expres- sion de s
navec le symbole P .
3. Former une expression très simple de s
n. (Théorème de Nicomachus)
4. Préciser la somme des entiers de 1 à n(n + 1) et celle des entiers pairs entre 1 et n(n + 1) . En déduire, en utilisant le théorème de Nicomachus,
1
3+ 2
3+ · · · + n
3=
n(n + 1) 2
2Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
