Énoncé Dans un plan horizontal, on considère un billard circulaire

MPSI B 19 octobre 2019

Énoncé

Dans un plan horizontal, on considère un billard circulaire

de rayon 1. Il est identié au disque unité du plan complexe et son bord au cercle unité U de centre 0.

D = { z ∈ C , | z | ≤ 1 } U = { z ∈ C , | z | = 1 }

Une boule (ponctuelle) est lancée à l'instant t = 0 d'un point M ₀ (d'axe z ₀ ) du bord. Elle rebondit contre le bord du billard en des points M 1 , M 2 , · · · , M i , · · · d'axes z 1 , z 2 , · · · , z i , · · · .

On suppose que son mouvement est rectiligne uniforme (norme de la vitesse égale 1) entre deux chocs et qu'il se poursuit indéniment. Les vitesses entre M 0 , M 1 , M 2 , · · · sont notées

−

→ v 0 , − → v 1 , − → v 2 , · · · . Elles sont de norme 1 et d'axes v 0 , v 1 , v 2 , · · · .

Les chocs sont des réexions élastiques ; c'est à dire que la normale en un point du bord du billard où un choc se produit est la bissectrice intérieure de deux segments de trajectoire consécutifs.

On écrit l'axe de la vitesse initiale sous la forme v 0 = z 0 e ^iα avec α ∈ [0, 2π[ . M

M

M

(a) Choc élastique en M

M

−

→ v

(b) Vitesse initiale

Fig. 1: Billard

1. Quel angle représente α ? Dans quel intervalle doit-il se trouver ? 2. Simplier 1 − 2 cos αe ^iα sous la forme d'une seule exponentielle.

3. Calcul de M ₁ .

a. Préciser géométriquement l'ensemble des points P d'axe w vériant :

∃ λ ∈ R tel que w = z 0 + λv 0

d'après X 98 PC 1

b. Calculer l'axe z 1 du point M 1 du bord en lequel se produit le premier choc.

Donner un argument de ^v _z

.

4. Calcul de − → v 1 . Traduire la propriété de réexion élastique en M 1 par une relation entre des arguments de ^v _z

et de ^v _z

. En déduire ^v _z

.

5. Montrer qu'il existe β ∈ ]0, 2π[ indépendant de n (à exprimer avec α ) tel que :

∀ n ∈ N

, z n = z 0 e ^inβ 6. Quelle est la longueur d'une corde M _j−1 M j pour j ∈ N

?

7. Donner une condition nécessaire et susante sur α pour que le mouvement soit pério- dique. Préciser la période et la trajectoire.

8. Autre méthode pour les résultats des questions 4 et 5.

En exploitant symétrie et rotation, former une relation entre ^z

_z

et ^z

_z

. En déduire une expression de z k+1 en fonction de z k et z _k−1 .

Que devient cette relation si z k = e ^iβ z _k−1 ? Conclure.

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Corrigé

M

−

→ v

−−→ 0M

α

Fig. 2: Interprétation du α de la vitesse initiale

1. Le réel α est un argument de ^v _z

donc une mesure de l'angle entre −−−→

OM ₀ et − → v ₀ (g 2).

Le mouvement se fait à l'intérieur du billard si et seulement si α ∈ i π

2 , π 2 + π h

= π

2 , 3π 2

.

2. En utilisant la dénition de cos avec une exponentielle : 1 − 2 cos αe ^iα = 1 − e

+ e ^iα

e ^iα = − e ^2iα = e ^i(2α+π)

3. a. Les points dont l'axe vérie la condition imposée forment la droite passant par M 0 et de direction − → v 0 .

b. Avec les conditions précisées par l'énoncé, on peut chercher l'axe du premier point de contact avec le bord sous la forme z 0 + λz 0 e ^iα avec λ réel non nul.

Ce complexe doit être de module 1 ce qui donne 1 + λ ² + 2λ cos α = 1 donc λ = − 2 cos α . On en déduit

z ₁ = (1 − 2 cos αe ^iα )z ₀ = − e ^2iα z ₀ = e ^i(2α−π) z ₀

De plus v 0

z 1

= z 0 e ^iα

z ₀ e ^i(2α−π) = e ^i(−α+π) ⇒ − α + π est un argument de v 0

z 1

M

M

M

(a) Choc élastique en M

M

M

M

−− → v

−

→ v

−−−−→ OM

θ ϕ

(b) Vecteurs en M

.

Fig. 3: Question 4

4. Calcul de − → v ₁ . Considérons les angles portés sur la gure 3b. La propriété de réexion élastique se traduit par le fait qu'ils sont opposés (bissectrice).

Or θ est un argument de

= ^v _z

1

et ϕ est un argument de

^v

= − ^v _z

. On en déduit : un argument de v 1

z ₁ + π ≡ −un argument de v 0

z ₁ mod (2π) Soit α 1 un argument de ^v _z

. Alors v 1 = z 1 e ^iα

(car v 1 est de module 1) avec

α ₁ + π ≡ − ( − α + π) mod (2π) ⇒ α ₁ ≡ α mod (2π) ⇒ v ₁ = z ₁ e ^iα . L'axe de la vitesse après le premier choc est e ^iα z 1 .

5. Le calcul du premier choc conduit à : point : z 0

vitesse : v 0 = e ^iα z 0

)

−→

( point : z ₁ = e ^i(2α−π) z ₀ vitesse : v 1 = e ^iα z 1

.

Comme l'expression de v 1 en fonction de z 1 est analogue à celle de v 0 en fonction de z 0 , on peut calculer le deuxième choc et, la forme étant la même, les chocs suivants :

z 1 = e ^i(2α−π) z 0

v ₁ = e ^iα z ₁ )

−→

( z 2 = e ^i(2α−π) z 1

v ₂ = e ^iα z ₂ −→ · · · −→

( z n = e ^in(2α−π) z 0

v _n = e ^iα z _n De plus,

π

2 < α < π

2 + π ⇒ π < 2α < 3π ⇒ 2α − π ∈ ]0, 2π[.

On a donc bien montré qu'il existe β = 2α − π ∈ ]0, 2π[ tel que z _n = e ^inβ z ₀ .

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6. La longueur M j−1 M j est la valeur absolue du λ de la question 3b : M _j−1 M j = − 2 cos α > 0 car π

2 < α < π 2 + π.

7. Si le mouvement est q -périodique alors z 0 = z q donc qβ ∈ 2π Z. Il existe donc un entier p tel que q(2α − π) = 2pπ donc

α

π = 2p + q 2q = p

q + 1 2 ∈ Q .

Réciproquement, si ^α _π est rationnel et si p et q sont des entiers dénis par p

q = α π − 1

2 ,

alors le mouvement est q périodique. Les points sur le bord forment un polygône régulier mais la trajectoire ne décrit pas forcément les côtés. Par exemple (gures 4a et 4b) :

α = 9π 14 ⇒

( p = 1

q = 7 ou α = 13π 14 ⇒

( p = 3 q = 7 .

(a) Cas α =

(b) Cas α =

Fig. 4: Question 7

8. On peut ramener M k au point d'axe 1 par une rotation. Les images de M k+1 et M k−1 par cette même rotation sont alors ^z

_z

et ^z

_z

. La symétrie de la gure étant conservée par rotation, les images sont symétriques par rapport à l'axe réel donc

z _k+1 z k

= z _k−1

z k

⇒ z _k+1 = z _k z k

z _k−1

Si z k = e ^iβ z _k−1 , on en tire

z k+1 = e ^iβ z _k−1

e

z _k−1 z k−1 = e ^2iβ z k−1 = e ^iβ z k ⇒ z k = e ^ikβ z 0

à partir du calcul de z 1 .

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