MPSI B Année 2019-2020 Énoncé DM 4 pour le 14/10/19 29 septembre 2019
Problème 1
Dans un plan horizontal, on considère un billard circulaire
1de rayon 1. Il est identié au disque unité du plan complexe et son bord au cercle unité U de centre 0.
D = { z ∈ C , | z | ≤ 1 } U = { z ∈ C , | z | = 1 }
Une boule (ponctuelle) est lancée à l'instant t = 0 d'un point M
0(d'axe z
0) du bord. Elle rebondit contre le bord du billard en des points M
1, M
2, · · · , M
i, · · · d'axes z
1, z
2, · · · , z
i, · · · .
On suppose que son mouvement est rectiligne uniforme (norme de la vitesse égale 1) entre deux chocs et qu'il se poursuit indéniment. Les vitesses entre M
0, M
1, M
2, · · · sont notées
−
→ v
0, − → v
1, − → v
2, · · · . Elles sont de norme 1 et d'axes v
0, v
1, v
2, · · · .
Les chocs sont des réexions élastiques ; c'est à dire que la normale en un point du bord du billard où un choc se produit est la bissectrice intérieure de deux segments de trajectoire consécutifs.
On écrit l'axe de la vitesse initiale sous la forme v
0= z
0e
iαavec α ∈ [0, 2π[ . M
k−1M
kM
k+1(a) Choc élastique enMk
M
0−
→ v
0(b) Vitesse initiale
Fig. 1: Billard
1. Quel angle représente α ? Dans quel intervalle doit-il se trouver ? 2. Simplier 1 − 2 cos αe
iαsous la forme d'une seule exponentielle.
3. Calcul de M
1.
a. Préciser géométriquement l'ensemble des points P d'axe w vériant :
∃ λ ∈ R tel que w = z
0+ λv
01d'après X 98 PC 1
b. Calculer l'axe z
1du point M
1du bord en lequel se produit le premier choc.
Donner un argument de
vz01.
4. Calcul de − → v
1. Traduire la propriété de réexion élastique en M
1par une relation entre des arguments de
vz01et de
vz11. En déduire
vz11.
5. Montrer qu'il existe β ∈ ]0, 2π[ indépendant de n (à exprimer avec α ) tel que :
∀ n ∈ N
∗, z
n= z
0e
inβ6. Quelle est la longueur d'une corde M
j−1M
jpour j ∈ N
∗?
7. Donner une condition nécessaire et susante sur α pour que le mouvement soit pério- dique. Préciser la période et la trajectoire.
8. Autre méthode pour les résultats des questions ?? et ??.
En exploitant symétrie et rotation, former une relation entre
zk+1zket
zk−1zk. En déduire une expression de z
k+1en fonction de z
ket z
k−1.
Que devient cette relation si z
k= e
iβz
k−1? Conclure.
Problème 2
Soit E un ensemble et A , B deux parties xées de E . On dénit une fonction f par
f :
( P (E) → P (E) × P (E)
X 7→ f (X) = (A ∩ X, B ∪ X)
1. Préciser f (A) , f(A ∪ B) , f ( ∅ ) , f (B ∩ A) . Que peut-on en déduire si f est injective ? 2. Soit X une partie de E , montrer que
X = (X ∩ B) ∪ (X ∪ B) ∩ B 3. Dans cette question, on suppose B ⊂ A .
a. Montrer que :
∀ (X, Y ) ∈ P (E)
2, A ∩ X = A ∩ Y ⇒ B ∩ X = B ∩ Y b. Montrer que f est injective.
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