Les traes d'un plan
Un plan n'a pas de bord. Un plan est ependant usuellement représenté par
une surfae polygonale, par exemple un parallélogramme ou un triangle. Le
plan étant illimité, sa projetion au sol est généralement tout le sol. L'épure
d'un plan en axonométrie ne peut plus être sa double représentation par son
image axonométrique et sa projetion. Pour dénir un plan, on utilise plutt
ses traes.
0
00
000 Les trois traes d'un plan sont
les droites d'intersetions de
ave lesol,le mur etlaparoi :
0
=\
1
00
=\
2
000
=\
3
Si le plan est donné par deux droites séantes d et e, alors les traes de d
ete dénissent lestraes du plan :
0
=E 0
D 0
00
=E 00
D 00
000
=E 000
D 000
D 0 D
00 D
000
E 0
E 00
E 000
0
00
000
d e
d
1 e
1
Un plan est vertial si et seule-
ment si sa deuxième trae 00
est
vertiale.
La première trae de est une
trae-projetion :
P2 () P
1 2
0
P
1 P
P
2
0
00
000
Lapremièretraed'unplanvertial
ontenant ladroite dest onfondue
ave d
1 .
D 0 D
00
0
00
d
1
= 0 d
Le plan parallèle au noyau
Un plan parallèle au noyau est
représentéparune seuledroite.Ses
traes 0
, 00
, 000
sont onfondues
ave sareprésentation.
P
1
Q
1
P
Q
0
=
00=
000
La représentation d'un plan pa-
rallèle au noyau et ontenant la
droite d est onfondue ave d.
Les traes du plan sont elles aussi
onfondues ave d.
d
1 d
=
0
=
00=
000
Indiquer D 0
,D 00
,D 000
,E 0
,E 00
etE 000
si possible.
1)
D 0
E 0
D 00
E 00 D
000
E 000
d d
1 e
e
1
2) e est frontale
D 0 E
0
D 00
E 000
d d
1
e
e
1
D 0
D 00
E 000
e
e
1
d d
1
4) e est vertiale
D 0
D 00 D
000
E 0
d d
1
e
D 0
D 00 D
000
e
e
1
d
1
d
3.2 Unplan estdonné partrois de ses pointsA, B etC. Trouverl'imageaxono-
métrique d'un point M de et la première projetion N
1
d'un point N de .
On onnaît lapremière projetion M
1
de M etl'image axonométrique de N.
A
A
1
B=B
1
C
C
1
M
1 N
M
N
1
droiteAB.
2) Dessiner lestraes du plan parallèle aunoyauontenant la droiteAB.
3) Donner les oordonnées et dessiner l'épure du point C(::: ;2;5) qui ap-
partientà .
4) Donner les oordonnées et dessiner l'épure du point D(5;5;:::) qui ap-
partientà .
A
A
1
B
B
1 AB
00
AB 000
C
C
1
D D
1
0
00
000
0
= 00
= 000
plan donné par ses traes. On onnaît la première projetion ou l'image axo-
nométrique de ettedroite.
1)
D 0
D 00
E 0 E
00
e
1 d
e
d
1
0
00
2) 00
==d et 0
==e
1
E 00 E
000
D 0
D 000
d
1 e
000
00
0
d
e
1
E 00
E 000
E 0
D 00
D 000
d
1
e
000
00
d
e
1
3.5 Un plan est donné par ses traes et l'image axonométrique d'un point P
de . Construire les droites h, f et p, respetivement horizontale, frontale et
de prol, passant par P et ontenues dans .
P
1 F
0 F
000
P 00
P 0
H 00
H 000
000
h f
p
P
0
00
Plan vertial
0
I
1 I d
d
1
La projetion sur le sol de
l'intersetion d'une droite d
et d'un plan vertial est
l'intersetion de d
1 et
0
.
Eneet, posons I=d\ .
Alors,I
1 2d
1 et I
1 2
0
, vu
que est vertial.
DonI
1
=d
1
\ 0
.
Plan parallèle au noyau
=
0
=
00=
000
I
I
1
d
d
1
L'intersetionId'unedroited
et d'un plan parallèle au
noyau est l'intersetion des
deux droites et d.
La projetion de I sur le sol
estlepointded
1
àlavertiale
de I.
quel quadrant se trouve l'intersetion. Déterminer la visibilité de la droite d
par rapportauplan .
1)
I I
1
000
d
d
1
00
0
2)
I
I
1
000
d
d
1
00
0
3)
I I
1
0
=
00
=
000 d
1
d
4)
I
I
1
0
=
00
=
000 d
1 d
3.7 1) Le plan est vertial; il oupe la droite d en I et passe par E. Dessiner
ses traes.
2) Leplan est parallèleaunoyau; iloupe ladroited en I etpasse parE.
Dessiner ses traes.
E
E
1 I
d
d
1
I
1
0
00
000
0
=
00
=
000
Déterminerla visibilitéde a et b.
1)
0
00
a
1 b
1 a
b
A
1 A
B
1 B
est vertial 2)
0
a
1
b
1 a
b
00
A
1 A
B
1 B est vertial
3)
A
1 A b
a
b
1 a
1
0
00 est vertial
b etb
1
sont parallèlesà 0
4)
0
=
00
=
000 a
b
a
1
b
1
A
1 A
B
1 B est parallèle aunoyau
0 b
b
1 a=a
1
000
A=A
1
B
1 B
0
00
a=a
1 b=b
1
A=A
1
B=B
1
3.9 1) Déterminer,avevisibilité,l'intersetionduprismeABCA 0
B 0
C 0
etduplan
vertial .ABC est sur le sol.
2) Déterminer, ave visibilité, l'intersetion du prisme ABCA 0
B 0
C 0
et du
plan Æ parallèleau noyau.
A B
C A
0
A 0
1 B
0
B 0
1
C 0
C 0
1
0
00
Æ 0
=Æ 00
vertial.
A
A
1
B
B
1
C
C
1 S
0
00
droit ABCA 0
B 0
C 0
dont la base est sur le sol. Dessiner les traes 0
et 00
du
plan .
A A
0
B B 0
C C
0
0
00
a
a
1 b
b
1
droit ABCDA 0
B 0
C 0
D 0
dont lesbases sont parallèlesausol.
A
1
B
1
C
1 D
1 A
B
C D
A 0
B 0
C 0 D
0
a
1
b
1 a b
a
b d
i I
On herhe l'intersetion I
d'unedroitedetd'unplan
donné par les deux sé-
antes a etb.
Généralement, les droites d
et a, ainsi que d et b, sont
gauhes. Don d ne oupe
nia, ni b.
L'idée est d'obtenir une
droitei de qui soitopla-
naire àd. Ainsi d\i est un
point de d et ; 'est don
l'intersetion de d et .
a
a
1 b
b
1
i1
=
0
= d1 d
i
A
A
1 B
B
1
I
I
1
La méthode onsiste à introduire le plan vertial ontenant d. On obtient
ensuite A=a\ et B =b\.
Ainsila droite i=AB est à lafois dans et . C'est don l'intersetion de
et .Lesdroitesietdsontoplanairesdans.Exeptéleasoùdestparallèle
à i,l'intersetion I de d eti est àla foissur d etdans .
au noyau
Généralement, les deux séantes a et b sont gauhes relativement à d. Pour
obtenirl'intersetionduplan =plan(a;b)etded,ilfautobtenirunedroitei
detellequeietdsoientoplanaires.Pourei,onintroduitleplanÆpassant
par d et parallèleaunoyau.
On obtientA=a\Æ et B=b\Æ.
La droite i = AB est à la fois dans Æ et dans . Don i = AB = \Æ. Les
droites i etd sont oplanairesdans Æ.
Exepté le as où d et i sont parallèles, l'intersetion I de i et d est à la fois
dans et sur d. AinsiI =d\ .
A
A
1
B
B
1 I
I
1 a
b
a
1
b
1
d
1 d
= Æ
= i
i
1
Marhe à suivre
Introduirele plan Æ passant par det parallèleaunoyau.
Poser A=a\Æ et B =b\Æ.
Construire A
1 sur a
1
au moyen d'unevertiale par A; onstruire B
1 sur b
1 au
moyen d'une vertiale par B.
Soit i
1
=A
1 B
1
.Poser I
1
=i
1
\d
1 .
Construire I sur d au moyen d'une vertiale par I
1 .
une fois un plan auxiliaire vertial et une fois un plan parallèleau noyau.
a d
b
a
1
d
1 b
1
A
A
1
B B
1 I
I
1
a d
b
a
1 b
1
A
A
1
B
B
1 I
I
1
a
d
b
a
1
d
1 b
1
A
A
1 B
B
1
I
I
1
3.15 Déterminer, ave visibilité,l'intersetion du plan(a;b) ave ladroite d.
A
A
1
B
B
1 I
I
1
b
1
d
1 a
b d
premières traes, ave la droite d. Utiliser une fois un plan auxiliaire vertial
(1 er
dessin) etune fois un plan parallèleaunoyau(2 e
dessin).
A 0 A
00
A 00
1
I
I
1
00
0
d
1 d
A 0
A 00
A 00
1 I
I
1
00
0
d
1 d
A
1 A
B
1 B
C
1 C
M
1 M
N
1 N
P
1 P
d
d
1
A
1 A
B
1 B
C
1 C
S
1 S
d
d
1
3.19 Déterminerl'intersetion des plans et donnés par leurs traes.
1)
0
0
00
00
2)
0
=
00
0
=
00
3)
0
0
00
00
2) Déterminerl'intersetionJdeladroiteACaveleplanEFGHenutilisant
un plan auxiliairevertial.
3) Déterminerl'intersetionKdeladroiteABaveleplanEFGHenutilisant
un plan auxiliaireparallèle aunoyau.
4) Traer la droite i d'intersetion des plans ABC et EFGH. Aurait-on eu
besoin des trois pointsI, J etK?
5) Dessiner, en ouleur et ave visibilité, l'intersetion du triangle ABC et
duparallélogrammeEFGH.Lesplaquessontonsidéréesommeopaques.
I=I
1 J
1 J
K
1 K
A
1 A
B=B
1
C=C
1 E
1 E
F=F
1
G=G
1 H
H
1
des plansauxiliairesvertiaux pour le1 er
dessin etparallèlesaunoyaupour le
2 nd
dessin. On onsidère lesplaques omme opaques.
A
A
1 B=B
1
C=C
1 E
E
1
F=F
1
G=G
1
A
A
1 B=B
1
C=C
1 E
E
1
F=F
1
grammeEFGH. On onsidère les plaques ommeopaques.
A
A
1 B=B
1
C=C
1 E
E
1
F=F
1
G=G
1
H
H
1
3.23 Dansuneaxonométriedenoyau~n =3e~
1 +2e~
2 +e~
3
,déterminer,avevisibilité,
l'intersetion des plaques triangulaires ABC etDEF.
A(3;3;3) B(2; 1;1) C( 1;2; 2
3 )
D(4;2; 2
3
) E(
3
2
;0;3) F(
3
2
;1;0)
Feuilledisposéevertialement,origineà9mdu bordgauheetàmi-hauteur;
unité :3 m.
On onsidère les plaques ommeopaques.
A
A
1
B=B
1 C=C
1
D
D
1 E
E
1 F
F
1
G=G
1
H=H
1
3.25 Dansune axonométrie de noyau~n=2e~
1 +e~
2 +e~
3
, déterminer,ave visibilité,
l'intersetion du parallélogrammeABCD etdu triangle EFG.
A(8;1;9) B(9;3;6) C(6;7;6) D(?;?;?)
E(14; 13
2
;14) F(5;0;5) G(4;6;4)
Feuilledisposéevertialement,origineà9mdu bordgauheetàmi-hauteur;
unité :2 m.
3.26 Déterminer,avevisibilité,l'intersetiondesprismesABCABC etLMNLMN
dontles bases sont dans lesol.
A=A1
B=B1 C=C1
A
0 A
0 1
B
0 B
0 1
C
0 C
0 1L=L1 M=M1
N=N1
L
0 L
0 1
M
0 M
0 1
N
0 N
0 1
