G10312. La bonne s´ equence
Admettant que le lancer d’une pi`ece donne pile ou face (P ou F) de fa¸con ´equiprobable, quelle est la loi de probabilit´e du nombre de lancers n´ecessaire pour obtenir pour la premi`ere fois une s´equence donn´ee de 3 r´esultats, par exemple PPF ou FPP comme dans le probl`eme G10267 ? Solution
Je note 0 pour celui des r´esultats pile ou face qui est le d´ebut de la s´equence donn´ee, 1 pour l’autre. Pile et face sont suppos´es ´equiprobables. Il y a 4 s´equences `a ´etudier, 000, 001, 010, 011, not´ees en indice 0, 1, 2 et 3 selon l’´ecriture binaire.
1 Etude d’ensemble
Je consid`ere pi(n), probabilit´e qu’apr`es n lancers la s´equence recherch´ee ne soit pas encore sortie, et que les deux derniers r´esultats soient 00, 01, 10 ou 11 selon que i= 0, 1, 2 ou 3. L’effet du n-i`eme lancer est que p0(n−1) alimente p0(n) et p1(n) avec probabilit´e 1/2,
p1(n−1) alimente p2(n) et p3(n) avec probabilit´e 1/2, p2(n−1) alimente p0(n) et p1(n) avec probabilit´e 1/2, p3(n−1) alimente p2(n) et p3(n) avec probabilit´e 1/2,
`
a cela pr`es que pd(n−1) n’alimente pas pf(n) si les deux r´esultats not´es det les deux r´esultats not´esf sont les deux premiers et les deux derniers de la s´equence recherch´ee, puisque celle-ci est justement constitu´ee par le passage de d`af.
Autrement dit, la matriceMj qui fait passer du vecteurpi(n−1) au vecteur pk(n) d´erive de la matrice
1/2 0 1/2 0
1/2 0 1/2 0
0 1/2 0 1/2
0 1/2 0 1/2
en annulant le terme en colonned(0 ou 1) et en ligne f (0, 1, 2 ou 3).
On en tire
t(p0(n), p1(n), p2(n), p3(n)) =Mjt(p0(n−1), p1(n−1), p2(n−1), p3(n−1)) en recourant, par commodit´e d’´ecriture, `a l’op´erateur de transpositiont() pour former un vecteur-colonne `a partir d’un vecteur-ligne, puis
t(p0(n), p1(n), p2(n), p3(n)) = (Mj)n−2t(1/4,1/4,1/4,1/4) =
= (Mj)n t(0,0,0,1)
Il en r´esulte, pour la probabilit´e p(n) de ne pas avoir obtenu la s´equence cherch´ee en nlancers
p(n) =Pipi(n) = (1,1,1,1)(Mj)n t(0,0,0,1)
La probabilit´e d’obtenir la s´equence aun-i`eme lancer est q(n) =p(n−1)−p(n).
Le polynˆome caract´eristique de la matrice Mj est aussi le polynˆome ca- ract´eristique de la r´ecurrence qui gouverne les suitesp(n) et q(n).
L’esp´erance du nombre de lancers est P∞
n=1nq(n) = 1−p(1) +P∞n=1n(p(n−1)−p(n)) = 1 +P∞n=1p(n)
1
2 S´ equence 000
(d= 0 =f)
Polynˆome caract´eristique de M0 : 8M4−4M3−2M2−M. On en d´eduit les r´ecurrences
p(n) =p(n−1)/2 +p(n−2)/4 +p(n−3)/8, q(n) =q(n−1)/2 +q(n−2)/4 +q(n−3)/8.
On pourrait diagonaliser la matrice M0 pour appliquer la formule matri- cielle, mais il est plus simple de dresser le tableau permettant d’initialiser les r´ecurrences.
n p0 p1 p2 p3 p q
2 1/4 1/4 1/4 1/4 1 0
3 1/8 1/4 1/4 1/4 7/8 1/8
4 1/8 3/16 1/4 1/4 13/16 1/16
5 1/8 3/16 7/32 7/32 3/4 1/16
6 7/64 11/64 13/64 13/64 11/16 1/16 7 13/128 5/32 3/16 3/16 81/128 7/128
La r´ecurrence q(n) ci-dessus peut s’appliquer `a partir de n = 4 avec les valeurs initiales 0, 0, 1/8 pour n= 1, 2, 3.
On peut aussi lui donner la forme q(n) =q(n−1)−q(n−4)/16 `a partir de n= 5 avec les valeurs initiales 0, 0, 1/8, 1/16 pourn= 1, 2, 3, 4.
Pour n grand, q(n) d´ecroˆıt proportionnellement `a xn, o`u x est la plus grande racine de l’´equation x= 1−1/(16x3) : x= 0,91964338. . ..
x= 1 + 3 q
19 +√
297 + 3 q
19−√ 297 6
Pour le calcul de l’esp´erance, la r´ecurrence dep(n) fournit la relation (1−1/2−1/4−1/8)P∞n=1p(n) = 13/8,
d’o`u on tire la valeur 14 pour l’esp´erance de n.
3 S´ equence 001
(d= 0, f = 1)
Polynˆome caract´eristique de M1 : 8M4−8M3+M. On en d´eduit les r´ecurrences
p(n) =p(n−1)−p(n−3)/8, q(n) =q(n−1)−q(n−3)/8.
Pour initialiser les r´ecurrences, on a le tableau suivant.
n p0 p1 p2 p3 p q
2 1/4 1/4 1/4 1/4 1 0
3 1/4 1/8 1/4 1/4 7/8 1/8
4 1/4 1/8 3/16 3/16 3/4 1/8
5 7/32 3/32 5/32 5/32 5/8 1/8
6 3/16 5/64 1/8 1/8 33/64 7/64 7 5/32 1/16 13/128 13/128 27/64 3/32
La r´ecurrence q(n) ci-dessus peut s’appliquer `a partir de n = 4 avec les valeurs initiales 0, 0, 1/8 pourn= 1, 2, 3.
Le polynˆome caract´eristique se factorise (ϕ= nombre d’or) 8x4−8x3+x=x(2x−1)(2x−ϕ)(2x+ϕ−1),
on peut reconnaˆıtre la suite de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, . . .
dans les accroissements de la suite 2nq(n) 0, 0, 1, 2, 4, 7, 12, . . .
et on observe que 2nq(n) =Fn−1 (avec F0= 0).
Ainsi pourngrand, q(n) d´ecroˆıt proportionnellement `a (ϕ/2)n. Pour le calcul de l’esp´erance, la r´ecurrence de p(n) fournit la relation (1/8)P∞n=1p(n) = 7/8,
d’o`u on tire la valeur 8 pour l’esp´erance de n.
2
4 S´ equence 010
(d= 1,f = 2)
Polynˆome caract´eristique de M2 : 8M4−8M3+ 2M2−M. On en d´eduit les r´ecurrences
p(n) =p(n−1)−p(n−2)/4 +p(n−3)/8, q(n) =q(n−1)−q(n−2)/4 +q(n−3)/8.
Pour initialiser les r´ecurrences, on a le tableau suivant.
n p0 p1 p2 p3 p q
2 1/4 1/4 1/4 1/4 1 0
3 1/4 1/4 1/8 1/4 7/8 1/8
4 3/16 3/16 1/8 1/4 3/4 1/8
5 5/32 5/32 1/8 7/32 21/32 3/32 6 9/64 9/64 7/64 3/16 37/64 5/64 7 1/8 1/8 3/32 21/128 65/128 9/128
La r´ecurrence q(n) ci-dessus peut s’appliquer `a partir de n = 4 avec les valeurs initiales 0, 0, 1/8 pour n= 1, 2, 3.
Pour n grand, q(n) d´ecroˆıt proportionnellement `a xn, o`u x est la plus grande racine de l’´equationx= 1−1/(4x) + 1/(8x2) :x= 0,87743883. . ..
x=
√ 24 + 3
q√
5374 +√
4374− 3 q√
5374−√
√ 4374 216
Pour le calcul de l’esp´erance, la r´ecurrence dep(n) fournit la relation (1/8)P∞n=1p(n) = 9/8,
d’o`u on tire la valeur 10 pour l’esp´erance de n.
5 S´ equence 011
(d= 1, f = 3)
Polynˆome caract´eristique deM3 : 8M4−8M3+M, le mˆeme que pourM1. On en d´eduit les r´ecurrences
p(n) =p(n−1)−p(n−3)/8, q(n) =q(n−1)−q(n−3)/8.
Pour initialiser les r´ecurrences, on a le tableau suivant.
n p0 p1 p2 p3 p q
2 1/4 1/4 1/4 1/4 1 0
3 1/4 1/4 1/4 1/8 7/8 1/8
4 1/4 1/4 3/16 1/16 3/4 1/8
5 7/32 7/32 5/32 1/32 5/8 1/8
6 3/16 3/16 1/8 1/64 33/64 7/64 7 5/32 5/32 13/128 1/128 27/64 3/32
Les valeurs dep(n) et q(n) sont les mˆemes que pour la s´equence 001. La loi de probabilit´e du nombre de lancers est donc identique pour ces deux s´equences.
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