Polygones emboités
On note an la longueur du côté du polygone régulier de n côtés, Rn le rayon du cercle circonscrit, rn celui du cercle inscrit.
Si on utilise rn comme rayon du cercle circonscrit Rn+1 au polygone de n+1 côtés, on aura certainement un polygone à n+1 côtés plus petit que le plus grand qui aurait pu être obtenu.
Cette méthode donne une suite minorante de polygones.
rn = an/2 *cotg(pi/n) = Rn * cos(Pi/n) = Rn+1
On a donc Rn+1 =R3 * produit pour k=3 à n de cos(pi/k)
La convergence du produit infini découle de celle de la série log(cos(pi/k)) qui se comporte comme -pi²/k². Une valeur numérique est 0,11494…
Cela assure que la suite décroissante des rayons rn converge vers une limite r non nulle.
Le périmètre pn = n*an = n * 2 * rn * tg(pi/n) tend vers 2*r*pi.
La véritable limite p est donc non nulle.
Pour la seconde partie, on utilise Rn comme cercle inscrit rn+1 au polygone de n+1 côtés ; on aura certainement un polygone à n+1 côtés plus grand que le plus petit qui aurait pu être obtenu. Cette méthode donne une suite majorante de polygones.
Rn = rn / cos(pi/n) = r3 / [ produit pour k=3 à n de cos(pi/k)]
La suite croissante de rayons Rn converge vers une limite R non infinie.
Le périmètre qn = n * an = n * 2 * Rn * sin(pi/n) tend vers 2*R*pi.
La véritable limite q est donc bornée.
