Epreuve commune de Mathématiques (2)

Epreuve commune de Mathématiques (2)

Exercice 1

1- f est la fonction définie pour tout x > 1 par f (x) = x² 2x−1 . a) Calculer f ' (x) et étudier son signe.

f est de la forme ^u

v avec u(x) = x² et v(x) = 2(x – 1), donc u'(x) = 2x et v'(x) = 2.

Ainsi, f ' (x) = ^{2 x×2x−1−2 x}

2

2x−1² =4 x²−4 x−2 x²

4x−1² =2 x²−4 x 4x−1² .

Comme le dénominateur 4(x – 1)² est toujours positif, f ' (x) a le même signe que 2x² – 4x = 2x(x – 2). Comme x > 1, f ' (x) a finalement le même signe que x – 2, donc f ' (x) est négatif sur ]1; 2[ et positif sur ]2; +∞[.

b) Dresser le tableau de variations de f.

Comme f (2) = 2, on obtient le tableau de variations suivant :

2- On appelle C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (unité 2 cm).

a) Quelle est l'équation de la tangente T à C au point d'abscisse 3 ? On a f (3) = ⁹

4 et f ' (3) = ³ 8 .

T admet donc, comme équation, y=3

8 ^x−3 −9

4 , soit y=3 8 x9

8 . b) Etudier le signe de fx−





fx−





Comme x > 1, fx−





c) En déduire les positions relatives de C et T.

fx−





8 . La courbe C est donc toujours au dessus de la tangente T.

1 sur 4

x f '(x)

f (x)

1 2 + ∞

0 +

–

2

d) Tracer C et T.

3- Dans le repère orthonormal O;i ,j, A est le point de coordonnées (1; 1).

A tout réel m > 1 on associe le point M de coordonnées (m; 0) et on note N le point où la droite (AM) coupe l'axe des ordonnées.

a) Calculer l'ordonnée du point N.

b) Montrer que l'aire du triangle OMN est égale à f (m).

c) Quelle est la position du point M telle que l'aire du triangle OMN soit

minimale?

a) On a AM(m – 1, – 1) et AN(– 1, yN – 1). Comme ces vecteurs sont colinéaires, il existe un réel k tel AM=kAN. D'où m – 1 = – k et – 1 = k(yN – 1). Ainsi k = 1 – m et

yN= 1−1

k = 1− 1

1−m= −m 1−m= m

m−1 . b) L'aire de OMN est égale à ^xM×yM

2 = m²

2m−1=fm.

c) Comme le minimum de f (x) est atteint pour x = 2, l'aire de OMN est minimale lorsque l'abscisse de M est égale à 2.

2 sur 4

Exercice 2

On considère deux points A et B tels que AB = 4.

Le but de cet exercice est de déterminer de trois façons différentes l'ensemble des points M du plan tels que MA

MB=5 .

Question préliminaire : Montrer que MA

MB=5 est équivalent à MA² – 25MB² = 0.

MA² – 25MB² = 0 ⇔ (MA + 5MB)(MA – 5MB) = 0.

Comme MA + 5MB ne peut pas être nul, MA² – 25MB² = 0 ⇔ (MA – 5MB) = 0

⇔ MA = 5MB ⇔ MA MB=5 . Méthode 1

On considère les points G barycentre de (A; 1), (B; 5) et G' barycentre de (A; 1) et (B; – 5).

1- Exprimer AG et AG' en fonction de AB .

Pour tout point M, MA5 MB=6 MG , donc pour M = A, 5 AB=6 AG et finalement

AG=5

6 AB . On montre de même que AG'=5 4 AB .

2- Ecrire plus simplement les sommes MA5 MB et MA−5 MB .



MA5 MB=6 MG et  MA−5 MB=−4 MG' .

3- En calculant le produit scalaire _MA5 MB⋅MA−5 MB, exprimer MA² – 25MB² en fonction de MG et MG' .

On a _MA5 MB⋅MA−5 MB = MA² – 25MB² d'une part, et _MA5 MB⋅ MA−5 MB=−24 MG⋅MG' d'autre part.

On en déduit que MA² – 25MB² = ₋24 MG⋅MG'.

4- En déduire l'ensemble des points M du plan tels que MA² – 25MB² = 0.

MA² – 25MB² = 0 ⇔ ₋24 MG⋅MG'= 0 ⇔ MG⋅MG' = 0.

L'ensemble cherché est donc le cercle de diamètre [GG'].

Méthode 2

Soit K le point défini par AK=25 24 AB .

1- Montrer que K est le barycentre de (A; 1) et (B; – 25).

AK=25

24 AB ⇔ ^{24 }AK=25 AB ⇔ 24 AK=25 AK25 KB  ⇔ ^KA−25 KB=0. Ceci montre que K est le barycentre de (A; 1) et (B; – 25).

2- Calculer KA² et KB².

Comme AK=25

24 AB , AK = ²⁵

24 ×4 =25

6 et KA² = ⁶²⁵ 36 . On a aussi ^KB=KAAB=−25

24 ABAB=−1 24 AB. Alors KB = ¹

24 ×4 =1 6

et KB² = ¹ 36

3 sur 4

3- Exprimer MA² – 25MB² en fonction de MK² (on pourra utiliser les décompositions



MA=MKKA et MB=MKKB ).

MA² – 25MB² = _{MKKA}² _{−25MKKB}².

Or _{MKKA}² _{−25MKKB}² _=MK² _2 MK⋅KAKA² −25MK² 2 MK⋅KBKB²

= ₋24 MK² KA² −25 KB² 2 MKKA−25 KB. Comme KA−25 KB=0, KA² = ⁶²⁵

36 et KB² = ¹

36 , on obtient finalement, MA² – 25MB² = – 24MK² + ⁶²⁵

36 – 25

36 = – 24MK² + ⁵⁰ 3 . 4- En déduire l'ensemble des points M du plan tel que MA² – 25MB² = 0.

MA² – 25MB² = 0 ⇔ – 24MK² + ⁵⁰

3 = 0 ⇔ MK² = ²⁵

36 ⇔ MK = ⁵ 6 . L'ensemble cherché est donc le cercle de centre K et de rayon ⁵

6 . Méthode 3

Le plan est muni du repère orthonormal (A; i , j ) avec i=1 4 AB . 1- Quelles sont les coordonnées de A et B ?

On a A(0, 0) et B(4, 0).

2- Exprimer MA² – 25MB² en fonction des coordonnées (x, y) du point M.

On a MA(– x, –y) et MB(4 – x, – y), donc

MA² – 25MB² = x² + y² – 25((4 – x)² + y²) = –24x² – 24y² + 200x – 400.

3- En déduire l'ensemble des points M du plan tels que MA² – 25MB² = 0.

MA² – 25MB² = 0 ⇔ –24x² – 24y² + 200x – 400 = 0 ⇔ x² + y² – ²⁵

3 x + ⁵⁰ 3 = 0

⇔









L'ensemble cherché est donc le cercle de centre





Vérifier que les 3 méthodes donnent bien le même résultat.

Faire une figure faisant apparaître les points A, B, G, G' et K, ainsi que l'ensemble cherché.

Dans le plan est muni du repère orthonormal (A; i , j ) , on a G( ¹⁰

3 , 0), G'(5,0) et K( ²⁵

6 ,0).

K est donc bien le centre du cercle.

On vérifie que K est le milieu de [GG'] et que GG' = ⁵

3 , donc [GG']

est bien un diamètre.

4 sur 4