Activité. Une épidémie se déclare dans une grande ville. On relève quotidiennement le nombre de personnes malades durant 45 jours.
On obtient ce graphique.
1. Au bout de combien de jours le nombre de personnes malades a-t-il atteint son maximum ?
2. On a modélisé le nombre de personnes malades par la fonction f définie pour 0⩽t ⩽45 par :
f(t) = 45 t2 – t3 a. Montrer que f ’(t) = 3 t (30 – t).
b. Étudier le signe de f ’(t) selon les valeurs de t.
c. Quel lien a-t-il entre le sens de variation de f et le signe de sa fonction dérivée ?
Le calcul infinitésimal
: Newton et Leibniz
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ARIATIONSET COURBESREPRÉSENTATIVESDES FONCTIONS« Le savant sait qu'il ignore. » Victor Hugo
I. LIENENTRELESENSDEVARIATIOND’UNEFONCTIONETLESIGNEDESADÉRIVÉE
Théorème. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si pour tout réel x de I, f ’(x)⩾0, alors f est croissante sur I.
Si pour tout réel x de I, f ’(x)⩽0, alors f est décroissante sur I.
On s’efforcera de ne pas confondre signe et sens de variation : le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction. On notera que les réciproques de ces implications sont vraies mais sont plus rarement utilisées. Enfin, des variantes de ce théorème existent concernant la stricte croissance et la stricte décroissante des fonctions dérivables, mais, dans cette découverte du lien entre le sens de variation d’une fonction et le signe de sa dérivée, il a été choisi de ne pas les énoncer.
On rappelle qu’une fonction f est constante sur un intervalle I s’il existe un réel c tel que pour tout x de I, f(x) = c.
Théorème. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si pour tout réel x de I, f ’(x) = 0, alors f est constante sur I.
Exemple 1. Étudier les variations de la fonction f définie sur ] –∞ ; 1,5 [ ∪] 1,5 ; +∞[ par f(x) = x 2x−3. Méthode : pour étudier les variations d’une fonction, on peut étudier le signe de sa dérivée.
I I . NOMBREDÉRIVÉENUNEXTREMUM, TANGENTEÀLACOURBEREPRÉSENTATIVE
Un extremum désigne un maximum ou un minimum. On peut distinguer entre extremum (maximum ou minimum de la fonction sur l’ensemble de définition) et extremum local (maximum ou minimum de la fonction sur un intervalle de l’ensemble de définition).
Par exemple, la fonction définie sur [-4 ; 3] et représentée ci-dessous admet un maximum local en –3 (ce maximum vaut environ 16) et un maximum local en 2 (ce maximum vaut environ 5). Mais son maximum est 16 et il est atteint en –3.
Théorème. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f admet un extremum en un réel x0 de I, alors f ’(x0) = 0 et la courbe représentative de f admet une tangente horizontale en x0.
Théorème. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 un réel de I.
Si f ’(x) s’annule en x0 en changeant de signe, alors f admet un extremum en x0.
Dans beaucoup d’exercice, un tableau de variation sera établi (voir l’exemple à droite). C’est un condensé d’informations qui comporte habituellement :
• une ligne pour le signe de la dérivée
• une ligne pour les variations de la fonction
• des valeurs particulières de la fonction ou de sa dérivée
Il permet entre autres de déterminer les extrema d’une fonction car sa lecture permet d’appliquer directement le théorème précédent.
I I I. ÉTUDIER, ENLIENAVECLADÉRIVATION, UNEFONCTIONPOLYNÔMEDUSECONDDEGRÉ
Exemple 3. Calculer la dérivée de la fonction f définie sur IR par f(x) = 5x2 + x – 8 puis dresser le tableau de variations de la fonction f.
Méthode : pour étudier les variations d’une fonction polynôme du second degré, on peut étudier le signe de sa dérivée.
D’une manière générale, considérons une fonction f polynôme du second degré : f(x) = a x2 + b x + c.
f est dérivable sur IR et on a : f ’(x) = 2ax + b (on remarque que f ’ est une fonction affine de coefficient directeur 2a).
D’une part, f ’(x) s’annule en − b 2a.
D’autre part, le signe de f ’(x) dépend du signe de a : en effet, si a < 0, le coefficient directeur 2a est aussi négatif. Il s’ensuit que la fonction affine f ’ est strictement décroissante et passe par 0 en − b
2a . Par suite, f ’(x) > 0 pour x < − b
2a et f ’(x) < 0 pour x > − b 2a .
Mais le signe de f ’(x) donne les variations de f : f est donc croissante sur
]
−∞ ; −2ab[
et elle est décroissante sur]
−2ba ; +∞[
.Si a > 0, on obtient de façon analogue que f est décroissante sur
]
−∞ ; −2ab[
et qu’elle est croissante sur]
−2ba ; +∞[
.Les courbes représentatives des fonctions polynômes du second degré n’ont donc, selon le signe de a, que deux allures possibles :
IV. ÉTABLIRUNEINÉGALITÉETÉTUDIER LAPOSITIONRELATIVEDEDEUXCOURBES
Par définition, une fonction f est croissante sur un intervalle I si pour tous a et b de I tels que a ⩽b, on a f(a)⩽f(b) et une fonction f est décroissante sur I si pour tous a et b de I tels que a ⩽b, on a f(b)⩽f(a).
Exemple 4. Sachant que la fonction f définie sur IR par f(x) = x3 + 5x – 18 est croissante sur IR, montrer que : Pour tout x ⩾1, x3 + 5x ⩾6.
Méthode : pour établir une inégalité, on peut utiliser les variations d’une fonction.
Exemple 5. Étudier la position relative des courbes représentatives Cf et Cg des fonctions f et g définies sur IR par f(x) = x3 et g(x) = x2 . Méthode : pour étudier la position relative de deux courbes représentatives,
on peut étudier le signe de la différence des expressions algébriques.
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ARIATIONSET COURBESREPRÉSENTATIVESDES FONCTIONS« Le savant sait qu'il ignore. » Victor Hugo
Capacités attendues
1. Étudier les variations de la fonction f définie sur IR par f(x) = x3 + 5x – 18 (cf. exemple 1) 2. Déterminer les extremums de la fonction f définie sur [−1 ; 5] par f(x) = 0,5x3 – 3x2.
3. Calculer la dérivée de la fonction f définie sur IR par f(x) = – x2 + 3x – 5 puis dresser son tableau de variations.
4. Sachant que la fonction f définie sur IR par f(x) = x3 + 5x – 18 est croissante sur IR, montrer que, pour tout x ⩾2, x3 + 5x ⩾18.
5. Étudier la position relative des courbes représentatives Cf et Cg des fonctions f et g définies sur IR par f(x) = x2 et g(x) = x .
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = x2 – x – 1. On note Cf sa représentation graphique.
On considère également la fonction g sur IR définie par g(x) = 3 – x. On note d sa représentation graphique.
Ces deux fonctions sont représentée ci-dessous.
1. Calculer la dérivée f ’ de f puis établir le tableau de variations de f.
2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse 2. Tracer cette droite ci-dessus.
3. Résoudre l’équation f(x) = g(x) et en déduire les coordonnées des points d’intersections de Cf et d.
4. Étudier la position relative des courbes représentatives Cf et Cg des fonctions f et g en fonction de x.
Le côté de la feuille carrée mesure 30 cm et on désigne par x la mesure (en cm) de la largeur des deux bandes découpées. On suppose que 0 < x < 15.
1. Démontrer que le volume (en cm3) de la boîte est V(x) = 2x3 – 60x2 + 450x.
2. Calculer la dérivée V ’(x).
3. Étudier le signe de la dérivée et établir le tableau de variations de V.
4. Pour quelle valeur de x le volume V(x) est-il maximal ? Préciser la valeur de ce volume maximal en litres.
Exercice 3
On étudie la croissance d’une population de bactéries cultivées dans un milieu liquide, sur une période de deux heures. L’évolution de la taille de cette population est modélisée par la fonction f définie sur [0 ; 2] par f(t) = −4,5t3 + 13,5t2 + 2, dans laquelle t est exprimé en heure et f(t) en millions de bactéries. Voici sa représentation graphique.
La dérivée de la fonction f représente la vitesse instantanée de croissance de la population. On note v(t) cette vitesse de croissance.
1. Calculer v(t) puis v’ (t).
2. Étudier le signe de v’ (t) puis dresser le tableau de variations de la fonction v.
3. Préciser la vitesse de croissance maximale atteinte par la population de bactéries et à quel instant elle a été atteinte.
4. Préciser v(0) et v(2). Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de f.
