Chapitre 1 – Notion de fonction
1- Définitions
On appelle fonction (numérique à une variable) le procédé qui, à un nombre x, associe un unique nombre y.
Si on appelle f cette fonction, on note : f : x y
On dit alors que y est l'image de x par la fonction f et on note : y = f ( x ).
On dit aussi que x est un antécédent de y par cette fonction f.
Exemple
On considère le programme de calcul ci-contre.
Soit x le nombre choisi et y le résultat obtenu avec ce programme.
Le programme correspond alors à une fonction f.
* Choisir un nombre.
* Élever ce nombre au carré.
* Enlever le double du nombre de départ.
* Ajouter 1.
* Cette fonction f associe au nombre choisi x le résultat obtenu y.
On a donc : f : nombre choisi x nombre obtenu y
On peut ici exprimer le résultat obtenu en fonction du nombre choisi : y = x² – 2x + 1.
On peut donc écrire pour tout nombre x : f ( x ) = x² – 2x + 1. C'est une expression de la fonction f.
* Si on choisit x = 3, on obtient y = 3² – 2(3) + 1 = 4.
On peut donc écrire : f ( 3 ) = 4 .
Ce qui peut se traduire par : « 4 est l'image de 3 par la fonction f » ou par : « 3 est un antécédent de 4 par la fonction f ».
* Si on choisit x = – 1, on obtient y = (– 1)² – 2(– 1) + 1 = 4.
On peut donc écrire : f ( – 1 ) = 4 .
Ce qui peut se traduire par : « 4 est l'image de – 1 par la fonction f » ou par : « – 1 est un antécédent de 4 par la fonction f ».
* Remarque
Par une fonction donnée, un nombre n'a qu'une seule image.
En revanche, un nombre peut avoir plusieurs antécédents comme le montre l'exemple précédent où 4 a au moins deux antécédents : 3 et – 1.
2- Représentation graphique
On considère un repère du plan et une fonction f de variable x.
La représentation graphique (ou courbe représentative) de la fonction f est l'ensemble de tous les points de coordonnées
(
x ; f ( x ))
dans le repère donné.* Pour esquisser la représentation graphique d'une fonction, on dresse généralement un tableau de valeurs.
Exemple Pour tout nombre x, soit la fonction f définie par : f ( x ) = x² – 2x + 1.
On dresse un tableau de valeurs (à l'aide d'un tableur par exemple).
On a, par exemple : f ( – 2 ) = 9. Le point de coordonnées ( – 2 ; 9 ) est donc un point de la représentation graphique de f.
Grâce aux valeurs du tableau, on peut ainsi placer plusieurs points de cette représentation graphique.
Attention ! Rien n’assure que ce tracé est fiable ...
Entre deux points obtenus à partir des valeurs du tableau, la courbe pourrait avoir plusieurs variations comme dans l’exemple ci-dessous.
* Pour obtenir un tracé plus précis, on pourra utiliser un logiciel de géométrie.
* 4 est l'image de 3 par la fonction f Par lecture graphique, on vérifie que :
* 4 a deux antécédents par la fonction f : 3 et – 1
Axe des ordonnées = lieu des images
Axe des abscisses = lieu des antécédents
3- Résolution graphique
On considère un repère du plan et deux fonctions f et g de variable x.
Propriété (admise)
Les solutions de l'équation f (x) = g (x) sont les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives de ces deux fonctions dans le repère donné.
Exemple
Pour tout nombre x, soit les fonctions f et g définies par : f (x) = x² – 2x +1 et g (x) = x + 5 .
Les solutions de l'équation f (x) = g (x) semblent être – 1 et 4.
Remarque
Pour être sûr que ces valeurs sont exactes, une vérification par le calcul est indispensable ! Une lecture graphique ne donne que des valeurs approchées.
