Rappel sur la notion de variations d’une fonction

(1)

FONCTIONS

2

Fonctions de référence Variations des fonc- tions

Rappel sur la notion de variations d’une fonction

DÉFINITION

Soit f une fonction déﬁnie sur un intervalle I .

On dit que f est croissante sur I si elle conserve le rangement des nombres . C’est à dire : Pour tout a et b dans I :

Si a ≤ b alors f (a) · · · · f (b)

DÉFINITION

Soit f une fonction déﬁnie sur un intervalle I .

On dit que f est décroissante sur I si elle · · · · C’est à dire : Pour tout a et b dans I : Si a ≤ b alors f (a) · · · · f (b)

Remarques : Si on remplace les inégalités par des inégalités strictes on parle de fonction strictement croissance ou de fonction strictement décroissante.

Remarques : On représente, en général, les variations d’une fonction dans un tableau de variation :

. .

x .

g(x) .

−7 .

−3 .

0 .

2 .

6 .

2 .

−5 .

8 .

−3 .

4 .

4

1

(2)

Rappels sur les fonctions carré et inverse

Fonction

et ensemble de déﬁnition D

Sens de variation Courbe dans un repère orthogonal

Fonction carré x 7→ x

²

D =

La fonction carré est strictement dé- croissante sur ] −∞ ; 0] et stricte- ment croissante sur [0 ; + ∞ [.

• Si 0 ≤ a < b, alors a

²

> b

²

• Si a < b ≤ 0, alors a

²

< b

²

J

O y

I x

y = x

²

Parabole de sommet O , d’axe ( Oy ) Fonction inverse

x 7→ 1 x D = \{ 0 }

La fonction inverse est strictement décroissante sur ] −∞ ; 0[ et stric- tement décroissante sur ]0 ; + ∞ [.

• Si 0 < a < b, alors 1 a > 1

b

• Si a < b < 0 , alors 1 a > 1

b

J O

y

I x y = 1

x

Hyperbole de centre de O

Fonction u + _k et k × u

DÉFINITION : Fonction u + k

Soit u une fonction déﬁnie sur un ensemble D et k un réel.

La fonction notée u + k est la fonction déﬁnie sur D par (u + k) (x) = u (x) + k.

PROPRIÉTÉ

Soit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel.

Les fonctions u et u + k ont · · · · sur I.

PREUVE

2

(3)

DÉFINITION : Fonction ku

Soit u une fonction déﬁnie sur un ensemble D et k un réel.

La fonction notée ku est la fonction déﬁnie sur D par (ku) (x) = k × u (x).

Rappel sur la notion de variations d’une fonction

FONCTIONS

2

Fonctions de référence Variations des fonc- tions

Rappel sur la notion de variations d’une fonction

DÉFINITION

Soit f une fonction déﬁnie sur un intervalle I .

On dit que f est croissante sur I si elle conserve le rangement des nombres . C’est à dire : Pour tout a et b dans I :

Si a ≤ b alors f (a) · · · · f (b)

DÉFINITION

Soit f une fonction déﬁnie sur un intervalle I .

On dit que f est décroissante sur I si elle · · · · C’est à dire : Pour tout a et b dans I : Si a ≤ b alors f (a) · · · · f (b)

Remarques : Si on remplace les inégalités par des inégalités strictes on parle de fonction strictement croissance ou de fonction strictement décroissante.

Remarques : On représente, en général, les variations d’une fonction dans un tableau de variation :

. .

x .

g(x) .

−7 .

−3 .

0 .

2 .

6 .

2 .

2 .

−5 .

−5 .

8 .

8 .

−3 .

−3 .

4 .

4

1

Rappels sur les fonctions carré et inverse

Fonction

et ensemble de déﬁnition D

Sens de variation Courbe dans un repère orthogonal

Fonction carré x 7→ x

D =

La fonction carré est strictement dé- croissante sur ] −∞ ; 0] et stricte- ment croissante sur [0 ; + ∞ [.

• Si 0 ≤ a < b, alors a

> b

• Si a < b ≤ 0, alors a

< b

J

O y

I x

y = x

Parabole de sommet O , d’axe ( Oy ) Fonction inverse

x 7→ 1 x D = \{ 0 }

La fonction inverse est strictement décroissante sur ] −∞ ; 0[ et stric- tement décroissante sur ]0 ; + ∞ [.

• Si 0 < a < b, alors 1 a > 1

b

• Si a < b < 0 , alors 1 a > 1

b

J O

y

I x y = 1

x

Hyperbole de centre de O

Fonction u + k et k × u

DÉFINITION : Fonction u + k

Soit u une fonction déﬁnie sur un ensemble D et k un réel.

La fonction notée u + k est la fonction déﬁnie sur D par (u + k) (x) = u (x) + k.

PROPRIÉTÉ

Soit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel.

Les fonctions u et u + k ont · · · · sur I.

PREUVE

2

DÉFINITION : Fonction ku

Soit u une fonction déﬁnie sur un ensemble D et k un réel.

La fonction notée ku est la fonction déﬁnie sur D par (ku) (x) = k × u (x).

PROPRIÉTÉ

Soit u une fonction monotone sur un intervalle I. Soit k un nombre réel.

Si k > 0, alors les fonctions u et ku ont le · · · · sur I.

Si k < 0, alors les fonctions u et ku ont · · · · sur I.

PREUVE

3

Fonction u + _k et k × u