Chapitre 3 : Fonctions (généralités)
I – Notion de fonction.
Exemple concret :
On considère x le rayon d'un disque et y l'aire du disque de rayon x.
On a y=x2. L'aire y du disque est fonction du rayon x.
On construit ainsi une fonction f en associant à chaque réel positif ou nul x le réel y.
On écrit y=fx. On lit « y égale f de x ».
Soit A un intervalle ou réunion d'intervalles deℝ.
Définition 1 : Une fonction de A versℝ est un lien qui à certains (ou tout) x de A associe un unique réel y de ℝ. On note :
f : A ℝ x f x.
● x s'appelle la variable.
● f x s'appelle l'image de x par la fonction f.
● Si y=fx, x s'appelle un antécédent de y par la fonction f . Exemples :
1. Soit f la fonction définie ci-dessous : f :[2;10] ℝ
x2x3
On peut, pour chaque x de l'intervalle [2; 10], calculer fx. On dit que f est définie sur [2; 10].
a . Déterminer l'image par f de chacun des réels suivants : 2 ; 6 et 10 3 .
b . Déterminer, s'il(s) existe(nt), le ou les antécédents par f de chacun des réels suivants : 0 ; 8 et 25.
2. Soit g la fonction définie ci-dessous : g :ℝ ℝ
x 1 x1
a . Déterminer l'ensemble des réels x pour lesquels on peut calculer gx. b . Déterminer l'image par g de chacun des réels suivants : -2 ; 0 et 3
c . Déterminer, s'il(s) existe(nt), le ou les antécédents par g de chacun des réels suivants : 3 ; 0 et 1.
3. Soit h la fonction définie ci-dessous : h :ℝ ℝ
x
x5.a . Déterminer l'ensemble des réels x pour lesquels on peut calculer hx. b . Déterminer l'image par h de chacun des réels suivants : -1; 4 et 3
Définition 2 : Soit f : A ℝ x fx
une fonction.
On appelle ensemble de définition de f , l'ensemble (noté en général Df), des réels x de A tels que fx existe.
Remarque : Lorsqu'on lit « Soit f une fonction définie sur un ensemble D », ceci signifie que pour tout x de D on peut calculer fx.
Exemples :
1. Soit f définie sur ]0;∞[par fx=1 x . 2. Soit g définie sur [−2;∞[par gx=
x2.II - Représentation graphique.
Soit (O, I, J) un repère du plan.
Soit f une fonction définie sur un ensemble D.
Définition 3 : On appelle représentation graphique de f, ou courbe représentative de f, l'ensemble des points M du plan de coordonnées (x, f (x)) où x décrit l'ensemble D.
On note en général Cf la courbe représentative de la fonction f.
On dit que y=fx est une équation de la courbe Cf.
Exemples : Représenter graphiquement les fonctions f et g définies par : 1. f :[−4;5] ℝ
x1 2 x1
.
2. g :[−3;4] ℝ x−x21
.
III- Variations d'une fonction.
Soit f une fonction définie sur un ensemble D et soit I un intervalle de D.
Définition 4 : La fonction f est croissante sur I, si pour tous a et b de I avec a≠b on a fb−f a
b−a 0
Propriété 1 : Si f est croissante sur I alors pour tous a et b de I : ab implique fafb. Interprétation graphique :
O I
J
y=f(x)
Exemples : Les fonctions f et g définies par : f :ℝ ℝ
x2x−3
et g :ℝ+ ℝ xx2
sont croissantes sur leur ensemble de définition.
Définition 5 : La fonction f est décroissante sur I, si pour tous a et b de I avec a≠b on a fb−f a
b−a 0
Propriété 2 : Si f est décroissante sur I alors pour tous a et b de I : ab implique f afb. Interprétation graphique
Exemples : Les fonctions f et g définies par : f :ℝ ℝ
x−3x4
et g :ℝ- ℝ xx2
sont décroissantes sur leur ensemble de définition.
Définition 6 : La fonction f est constante sur I, si pour tous a et b de I avec a≠b, on a fb−fa
b−a =0
Propriété 3 : Si f est constante sur I alors pour tous a et b de I : ab implique fa=fb. Interprétation graphique
Exemples : Les fonctions f et g définies par : f :ℝ ℝ
x4
et g :ℝ ℝ x−2
sont constantes sur leur ensemble de définition.
Définition 7 : Une fonction qui est, soit croissante sur I, soit décroissante sur I, est dite monotone sur I.
On résume les variations d'une fonction dans un tableau appelé tableau de variation.
y=f(x)
Dresser le tableau de variation de f.
IV – Extremum.
Définitions 8 :
Soit une fonction f définie sur un intervalle I et x0 un élément de l'intervalle I.
La fonction f admet un minimum en x0, sur l'intervalle I , lorsque f x0 est la plus petite valeur prise par la fonction f sur
l'intervalle I, c'est-à-dire :
pour tout nombre réel x élément de l'intervalle I, f xfx0.
La fonction f admet un maximum en x0, sur l'intervalle I, lorsque f x0 est la plus grande valeur prise par la fonction f sur
l'intervalle I, c'est-à-dire :
pour tout nombre réel x élément de l'intervalle I, f xfx0.
Un minimum ou un maximum s'appelle un extremum.
V - Transformation d'une expression algébrique.
Développement et factorisation
Les trois dernières égalités s'appellent identités remarquables.
Exemples :
1. Développer les expressions suivantes : a . 3xx2−3;5x32x y23x2y. b . 2−
32;
3
52;
3−1
31.c . x22 ;x−42 ;x−3x3.
d . 3 x23 x−2;2 x−52 ;8 x32 .
e . 4 x−3 y2 ;5 y2 x2 ;2 x3 y2 x−3 y. 2. Factoriser les expressions suivantes :
a . 6x24x ;3x2y−12x y2. b . x22x1; x2−4x4; x2−9 .
c . 9x2−12x4;9x2−16;4x24x1 .
d . 2x22
