Chapitre 4 : Nombres complexes et trigonométrie

Chapitre 4 : Nombres complexes et trigonométrie

/ Connaître les diérentes formes d'un nombre complexe et leur interprétation graphique.

/ Identier les formes géométriques connues (médiatrice, cercle ...).

/ Résoudre une équation du second degré complexe.

/ Trouver les racinesn−ième d'un nombre complexe.

***

Les nombres complexes furent introduits au 16e siècle par les mathématiciens italiens Cardan, Bombelli, Fontana, et Ferrari an d'exprimer les solutions des équations du troisième ou quatrième degré en toute généralité. René Descartes (1596-1650) qualie d'imaginaire une quantité contenant la racine carrée d'un nombre négatif. Un nombre complexe s'écrit à l'époquea+b√

−1oùaetbsont réels. C'est à Euler que l'on doit la notationipour√

−1en1777.

Ce n'est qu'à partir du 19e siècle avec les travaux de Gauss et de Cauchy, que se développe l'aspect géométrique des nombres complexes. On les associe à des vecteurs ou des points du plan. Les transformations du plan s'expriment alors sous forme de transformations complexes.

On sait que l'équationx²=−1n'admet pas de solution dans***R. Cela signie qu'il n'existe pas de réelxtel quex²=−1.

1 Forme algébrique

1.1 L'ensemble C

On notei un nombre (non réel) tel que i² =−1. On appelle nombre complexe tout nombre s'écrivant z =a+iboù a, b∈R. L'ensemble des nombres complexes est noté :

C={a+ib, a, b∈R}.

L'écriture z =a+ib∈Cest appelée la forme algébrique de z. Le réel aest appelé la partie rélle de z et est noté Re(z), et le réelbest appelé la partie imaginaire dez et est notéIm(z).

Dénition 1 (C).

Exemple 1. Le nombre complexe z = 2−i a pour partie réelle Re(z) = et pour partie imaginaire Im(z) = .

Remarque : Quel que soit le nombre complexez,Re(z)etIm(z)sont réels !

Deux nombres complexeszet z⁰ sont égaux si Re(z) =Re(z⁰)etIm(z) =Im(z⁰). Dénition 2 (Egalité de deux nombres complexes).

1.2 Opérations dans C

Les opérations+et ×sont compatibles avec celles dansR.

Soitz=a+ibetz⁰=a⁰+ib⁰ deux nombres complexes. On a :

• Re(z+z⁰) = etIm(z+z⁰) =

• Re(zz⁰) = etIm(zz⁰) = Proposition 1 (Propriétés).

Les formules établies dans le chapitre 1. Calculs algébriques sont encore vraies dansC:

Pour tousq∈C\{1},a, b∈Cetn∈N, on a : 1.

n

X

k=`

q^k =

2. aⁿ−bⁿ= 3. (a+b)ⁿ =

Proposition 2 (Formules sur les sommes).

ATTENTION : il n'y a pas de relation d'ordre dans les complexes.

1.3 Interprétation géométrique

Pour toute considération géométrique,Cest assimilé au planR²muni d'un repère orthonormé(O,~i,~j). Représentation d'un nombre complexe. Axes.

SoitA un point du plan. Ce point est identié par un nombre complexez_A appelé axe deA. Pourz_A etz_B désignant l'axe de deux pointsA etB du plan, on dénit l'axe du vecteur −−→

ABpar z−−→

AB =z_B−z_A. Dénition 3 (Axe).

Exemple 2. SiA(1; 2)et B(0; 3)alors leur axe respective estzA= ,zB = et z⁻_AB^−→=

SoitA, B, C trois points du plan. On a équivalence entre : 1. A, B, C sont alignés,

2. il existeλ∈Rtel que z⁻_AB^−→=λz^−→_AC. Proposition 3 (Points alignés).

SoitA etB deux points du plan. Le milieu du segment[AB]est le pointM d'axezM = ^zA+z₂ ^B. Proposition 4 (Milieu de segment).

Une translation du plan de vecteur~uest une fonctionf :C−→Cdénie parf(z) =z+z_~u. Dénition 4 (Translation).

Exercice 1. Déterminer l'axezB deB, image de Ad'axezA= 1−3ipar la translation de vecteur~u= (1,−1).

Une homothétie du plan de rapportk∈Rest une fonction :f :C−→Cdénie parf(z) =kz.

Dénition 5 (Homothétie).

Rapportk >1 Rapport0< k <1 Rapportk=−1

1.4 Conjugué d'un nombre complexe

Soitz=a+ib. Le conjugué dez est le nombre complexez¯=a−ib. Dénition 6 (Conjugué).

Exemple 3. Soitz=−2−i. On a¯z= .

Soitz, z⁰ ∈C. On a : 1. z¯¯= etzz¯ 2. z+z⁰=

3. zz⁰ =

4. Siz⁰ 6= 0alors _z^z0

= 5. Re(z) =

6. Im(z) = Proposition 5 (Propriétés).

Représentation dez7−→z¯,z7−→ −¯z,z7−→ −z.

z7−→z¯ z7−→ −¯z z7−→ −z Exercice 2. Résoudre dansCl'équationz+ 2i¯z= 1 + 3i.

Soitz∈C. On a :

1. z∈R⇐⇒z¯= 2. z∈iR⇐⇒z¯=

Proposition 6 (Caractérisation d'un réel ou d'un imaginaire pur).

1.5 Module d'un nombre complexe

Pour un nombre complexez=a+ibdonné, on dénit son module comme le nombre réel positif noté|z|par :

|z|=p a²+b². Dénition 7 (Module).

Exemple 4. Soitz=−2−i. On a|z|= et |¯z|= . Remarque : Soitz∈C. On a|z|=√

zz¯.

Soitz, z⁰ ∈C. On a : 1. |z|= 0⇐⇒

2. |¯z|= 3. |zz⁰|=

4. Siz⁰ 6= 0alors _z^z0

= 5. |Re(z)|

6. |Im(z)|

Proposition 7 (Propriétés).

Interprétation géométrique du module :|z_A|=k−→ 0Ak.

Exercice 3. Soitz, z⁰ ∈C. Montrer que :zz⁰= 0⇐⇒z= 0ouz⁰= 0.

Le cercle de centreAd'axez_Aet de rayonR >0est l'ensemble des points complexes{z∈C, }. Proposition 8 (Cercle).

Exercice 4. Déterminer l'équation complexe du cercle dont un diamètre est[AB]oùzA= 1 +i etzB=−2.

La médiatrice du segment[AB] dont les extrémités sont d'axesz_A etz_B est l'ensemble des points complexes

{z∈C, }.

Proposition 9 (Médiatrice).

Exercice 5. Trouver la médiatrice de[AB]oùzA= 1 +iet zb=−1 +i.

Soitz, z⁰ ∈C. On a :

1. |z±z⁰| ≤ |z|+|z⁰| 2.

On a égalité si et seulement si :

Proposition 10 (Inégalité triangulaire).

2 Nombres complexes de module 1

2.1 Ensemble U

On noteUl'ensemble des nombres complexes de module1. Dénition 8 (U).

Exemple 5. Soitz=^√1

2+i^√1

2. On az∈U.

Interprétation géométrique.

Soitz∈C. On a :

z∈U⇐⇒ ∃θ∈R, z= cos(θ) +isin(θ).

Proposition 11 (Existence de l'argument).

Remarque : Un tel nombreθ, appelé argument de zdétermine le nombre complexe z∈U. Unicité à 2π−près.

Pourθ∈R, on dénit l'exponentielle imaginairee^iθ= cos(θ) +isin(θ). Dénition 9 (Exponentielle imaginaire).

Exemple 6. Soitz=^√1

2+i^√1

2. On az= cos ^π₄

+isin ^π₄

=

Remarque :

•

•

•

Soitz=e^iθ, z⁰ =e^iθ0∈U. On a : 1. z¯∈Uetz¯=

2. zz⁰ ∈Uete^iθe^iθ0 =

3. _z^z0 ∈Uet e^iθ e^iθ0 = 4. e^iθ=e^iθ0 ⇔ Proposition 12 (Opérations dansU).

Exercice 6. Résoudre dansR,e^iθ= 1.

2.2 Formules d'Euler et de De Moivre

Quel que soitθ∈R, on a :

cos(θ) =e^iθ+e^−iθ

2 , sin(θ) = e^iθ−e^−iθ 2i . Proposition 13 (Formules d'Euler).

Méthode

Factorisation par le demi-angle.

• Pour θ∈R,1±e^iθ

• Pour θ, θ⁰ ∈R, e^iθ0±e^iθ

Soitn∈Z. Quel que soitθ∈R, on a :

e^iθn

=e^inθ Proposition 14 (Formules de De Moivre).

2.3 Applications à la trigonométrie

Méthode

Linéariser cosⁿ(ax)

1. Utiliser la formule d'Euler :cos(ax) =^eiax+e₂^−iax

2. Utiliser la formule du Binôme de Newton :cosⁿ(ax) =

e^iax+e^−iax 2

ⁿ

=. . . 3. Utiliser la formule de De Moivre : e^iaxk

=e^ikax. . .

4. Regrouper les mêmes puissances, puis utiliser les formules d'Euler à l'envers.

Méthode

Calcul d'une somme

n

X

k=0

cos(kx)

1. Utiliser l'exponentielle imaginaire :cos(kx) =Re e^ikx

2. Utiliser la linéarité de la partie réelle/imaginaire : Pcos(ax) =Re Pe^ikx 3. Utiliser la formule de De Moivre :e^ikx= e^ixk

4. Utiliser la somme d'une suite géométrique :P e^ixk

=. . . 5. Regrouper les termes, puis utiliser les formules d'Euler à l'envers.

6. On termine par prendre la partie réelle/imaginaire.

Notation : Soitu, v∈Ret m∈R. On écritu=v [m]

Soitu, v ∈R. On a :

• cos(u) = cos(v)⇐⇒

• sin(u) = sin(v)⇐⇒

• u, v6= ^π₂[π],tan(u) = tan(v)⇐⇒

Proposition 15 (Equations trigonométriques).

Remarque : On ne sait pas résoudre directementcos(. . .) = sin(. . .)!

3 Forme trigonométrique

3.1 Argument d'un nombre complexe

Soitz∈Cnon nul. On az=|z| × _|z|^z et _|z|^z ∈U.

Tout nombre complexeznon nul peut s'écrire

z=re^iθ

avecr >0 et θ∈R. Cette écriture s'appelle la forme trigonométrique de z. L'angle θ, déni à2π−près, est appelé argument dez et est notéarg(z).

Dénition 10 (Forme trigonométrique).

Exemple 7. Soitz= 1 +i. On a|z|=√

2 etz=√

2e^iπ4 doncarg(z) =

Vocabulaire : Le couple(r, θ), oùrest le module (réel positif) dezetθ un argument dez, désigne les coordonnées polaires du pointM d'axez. Les coordonnées polaires sont uniques dès que l'on xeθ comme argument principal.

Remarque : Cas dez= 0.

Remarque : Produit de deux complexes sous forme trigonométrique.

Remarque : Egalité de deux nombres complexes sous forme trigonométrique.

Soitz, z⁰ ∈C\{0}. On a : 1. arg(zz⁰) =

2. arg(¯z) =

3. arg _z^z0

=

4. Pour n∈N,arg(zⁿ) = Proposition 16 (Propriétés).

-Interprétation géométrique.arg(z) =

Soit A, B, C trois points du plan. La mesure de l'angle orienté entre le vecteur −−→

AB et −→

AC est donnée par arg

zC−zA

zB−zA

[2π].

Proposition 17 (Angle entre deux vecteurs).

Exercice 7. Montrer que les points d'axez_A= ²₃−³₂i,z_B =⁷₅ + 2ietz_C =−⁷₆−⁴¹₄isont alignés.

Une rotation du plan de centreO et d'angleθ∈Rest une fonction : f :C−→Cdénie parf(z) =e^iθz.

Dénition 11 (Rotation).

Exemple 8. Multiplier parirevient à eectuer une rotation d'angle ^π₂ dans le sens direct.

Exercice 8. Ecrire l'expression d'une rotation de centreΩ.

Une expression du typeacos(x) +bsin(x)se factorise sous la formeAcos(x−φ): acos(x) +bsin(x) =Acos(x−φ) oùA=|a+ib|etφest un argument dea+ib.

Proposition 18 (Factorisation trigonométrique).

3.2 Exponentielle complexe

Pourz un nombre complexe, on pose

e^z=e^Re(z)e^iIm(z). Dénition 12 (Exponentielle complexe).

Exemple 9. Siz= 1 +ialorse^z= . Remarque : |e^z|=e^Re(z).

Soitz, z⁰ ∈C. On a : 1. e^z+z0=e^ze^z0

2. e^z=e^z0 ⇐⇒ Re(z) =Re(z⁰)etIm(z) =Im(z⁰) [2π]⇐⇒z−z⁰∈2iπZ Proposition 19 (Propriétés).

Soita∈C^∗. La transformation géométriquef :C−→Cdénie parf(z) =azest la composée Dénition 13 (Multiplication par un complexe).

4 Equations dans C

4.1 Equation du second degré

Soit∆∈C. On appelle racine carrée de∆tout nombre complexeδ vériantδ²= ∆. Dénition 14 (Racine d'un nombre complexe).

Exemple 10.δ= 2iest racine carrée de∆ =. . . ..δ= 1 +iest racine carrée de ∆ =. . . .. Remarque : Nombre de racines carrées.

Méthode

Trouver une racine carrée δ=x+iy d'un nombre complexez=a+ib.

1. On traduit le fait queδ²=z en identiant parties réelle, imaginaire, et module.

2. On obtient le système







x²−y² = a 2xy = b x²+y² = √

a²+b²

Soita, b, c∈Caveca6= 0. On s'intéresse à l'équation :

(E) az²+bz+c= 0.

Siδest une racine carrée du discriminant de (E), b²−4ac, alors les solutions de (E) sont : z1=−b−δ

2a et z2=−b+δ 2a . Proposition 20 (Equation du second degré).

Remarque : Nombre de solutions.

Siz1 etz2 sont les deux solutions (éventuellement confondues) deaz²+bz+c= 0alors on a les relations suivantes : z1+z2=−b

a et z1z2= c a. Proposition 21 (Relations solutions et coecients).

Méthode

Résolution d'une équation de degré supérieurP(z) = 0.

Siaest solution évidente (P(a) = 0) on peut factoriser l'équation par z−a.

4.2 Racine n− ième

Soitn∈N^∗. On dit qu'un nombre complexez est une racinen-ième de l'unité si zⁿ = 1.

L'ensemble des racinesn-ième de l'unité est notéUn. Dénition 15 (Racinen−ième de l'unité).

Exemple 11. Quel que soitn∈N^∗,1∈Un. On a−1∈U2,e^iπ3 ∈U6.

Soitn∈N^∗et z∈C. On a :

zⁿ= 1⇐⇒ ∃k∈ {0, . . . , n−1}, z=e^2ikπn . Théorème 1 (Caractérisation des racinesn−ième de l'unité).

Remarque : Nombre de racinesn-ième de l'unité.

Exercice 9. Déterminer les racines cubiques de1.

Soitn∈Navecn≥2. Pourω∈Un\{1}, on a :

n−1

X

k=0

ω^k= 0.

Proposition 22 (Somme des racines de l'unité).

Exercice 10. Soitω∈U3\{1}. Calculer

3

X

k=0

w^k.

Soitn∈N^∗. On dit qu'un nombre complexez est une racinen-ième de a∈Csizⁿ =a.

Dénition 16 (Racinen−ième dea).

Exemple 12.z= 1 +iest une racine3−ième dea= . Méthode

Lorsque a=re^iθ avecr >0 etθ∈R. On a :

zⁿ=a ⇐⇒ zⁿ=re^iθ

⇐⇒

⇐⇒