ENONCE Activités numériques

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3 2011 - Métropole

ENONCE

Activités numériques

Exercice 1

Un dé cubique a 6 faces peintes : une en bleu, une en rouge, une en jaune, une en vert et deux en noir.

1. On jette ce dé cent fois et on note à chaque fois la couleur de la face obtenue. Le schéma ci-contre donne la répartition des couleurs obtenues lors de ces cent lancers.

a. Déterminer la fréquence d'apparition de la couleur jaune.

b. Déterminer la fréquence d'apparition de la couleur noire.

2. On suppose que le dé est équilibré.

a. Quelle est la probabilité d'obtenir la couleur jaune ? b. Quelle est la probabilité d'obtenir la couleur noire ?

3. Expliquer l'écart entre les fréquences obtenues à la question 1 et les probabilités trouvées à la question 2.

Exercice 2

On fabrique des bijoux à l'aide de triangles qui ont tous la même forme. Certains triangles sont en verre et les autres sont en métal. Trois exemples de bijoux sont donnés ci-dessous. Les triangles en verre sont représentés en blanc ; ceux en métal sont représentés en gris.

Tous les triangles en métal ont le même prix. Tous les triangles en verre ont le même prix.

Le bijou n°1 revient à 11 € ; le bijou n°2 revient à 9,10 €.

A combien revient le bijou n°3 ?

Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 3

1. Deux affirmations sont données ci-dessous.

Affirmation 1

Pour tout nombre a : (2a3)² 4a²9.

verre métal

Bijou n°3 Bijou n°2

Bijou n°1

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Affirmation 2

Augmenter un prix de 20 % puis effectuer une remise de 20 % sur ce nouveau prix revient à redonner à l'article son prix initial.

Pour chacune, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse.

2. Deux égalités sont données ci-dessous.

Egalité 1 32 2 2

2  .

Egalité 2

5 5 0

10 10^ 10 .

Pour chacune, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Si elle est vraie, écrire les étapes des calculs qui permettent de l'obtenir.

Si elle est fausse, la transformer pour qu'elle devienne vraie.

Activités géométriques

Exercice 1

Le dessin ci-contre représente une figure géométrique dans laquelle on sait que :

 ABC est un triangle rectangle en B ;

 CED est un triangle rectangle en E ;

 Les points A, C, E sont alignés ;

 Les points D, C, B sont alignés ;

 ABCB2cm ;

 CD6cm.

Le dessin n'est pas en vraie grandeur

1. Représenter sur la copie la figure en vraie grandeur.

2. a. Quelle est la mesure de l'angle ACB ? b. En déduire la mesure de l'angle DCE.

3. Calculer une valeur approchée de DE à 0,1 cm près.

4. Où se situe le centre du cercle circonscrit au triangle DCE ? Tracer ce cercle, que l'on notera puis tracer le cercle circonscrit au triangle ABC.

5. Les cercles et se coupent en deux points : le point C et un autre point noté M. Les points D, A et M sont-ils alignés ?

Exercice 2

1. Dessiner un pavé droit en perspective cavalière.

2. Un aquarium a la forme d'un pavé droit de longueur 40 cm, de largeur 20 cm et de hauteur 30 cm.

a. Calculer le volume, en cm³, de ce pavé droit.

b. On rappelle qu'un litre correspond à 1 000cm³. Combien de litres d'eau cet aquarium peut-il contenir ? Aucune justification n'est demandée.

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3. Parmi les formules suivantes, recopier celle qui donne le volume, en cm³, d'une boule de diamètre 30 cm :

⁴ 30³

3  415² ⁴ 15³ 3 

4. Un second aquarium contient un volume d'eau égal aux trois quarts du volume d'une boule de diamètre 30 cm. On verse son contenu dans le premier aquarium. A quelle hauteur l'eau monte-t-elle ? Donner une valeur approchée au millimètre.

Problème

Une famille envisage d'installer une citerne de récupération d'eau de pluie. Pour pouvoir choisir une installation efficace, la famille commence par déterminer sa capacité à récupérer l'eau de pluie.

Elle estime ensuite ses besoins en eau avant de choisir une citerne.

Partie I – La capacité à recueillir l'eau de pluie

1. Dans cette partie, il s'agit de calculer le volume d'eau de pluie que cette famille peut espérer recueillir chaque année. Dans la ville où réside cette famille, on a effectué pendant onze années un relevé de précipitations. Ces relevés sont donnés dans le tableau suivant :

Années 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Précipitations en

litres par mètre carré (l m/ ²)

1087 990 868 850 690 616 512 873 810 841 867

a. En quelle année y a-t-il eu le plus de précipitations ? Aucune justification n'est demandée.

b. En 2009, combien de litres d'eau sont tombés sur une surface de 5 m² ?

2. Sur les onze années présentées dans le tableau, quelle est la quantité moyenne d'eau tombée en une année ?

3. Calculer la surface au sol d'une maison ayant la forme d'un pavé droit (surmonté d'un toit) de 13,9 m de long, 10 m de large et 6 m de haut.

4. Une partie de l'eau de pluie tombée sur le toit ne peut pas être récupérée.

La famille utilise une formule pour calculer le volume d'eau qu'elle peut récupérer : V   P S 0,9.

V : volume d'eau captée en litre,

P : précipitations en litre par mètre carré, S : surface au sol en mètre carré.

Calculer ce volume en litres pour l'année 2009.

Montrer que 108 m³ en est une valeur approchée à 1 m³ près.

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Partie II – Les besoins en eau

La famille est composée de quatre personnes.

La consommation moyenne d'eau par personne et par jour est estimée à 115 litres.

1. Chaque jour, l'eau utilisée pour les WC est en moyenne de 41 litres par personnes. Calculer le pourcentage que cela représente par rapport à la consommation moyenne en eau par jour d'une personne.

2. On estime que 60 % de l'eau consommée peut être remplacée par de l'eau de pluie. Montrer que les besoins en eau de pluie de toute la famille pour une année de 365 jours sont d'environ 100 m³.

3. L'eau de pluie récupérée en 2009 aurait-elle pu suffire aux besoins en eau de pluie de la famille ?

Partie III – Le coût de l'eau

1. Le graphique donné en ANNEXE représente le coût de l'eau en fonction de la quantité consommée.

a. En utilisant ce graphique, déterminer une valeur approchée du prix payé pour 100 m³ d'eau. Aucune justification n'est demandée.

b. On note p x( ) le prix en euros de la consommation pour x mètres cube d'eau. Proposer une expression de p x( ) en fonction de x en expliquant la démarche.

c. Au prix de la consommation vient s'ajouter le prix de l'abonnement. L'abonnement est de 50 € par an.

Représenter sur le même graphique donné en ANNEXE la fonction donnant le prix en euros, abonnement inclus, en fonction du volume d'eau consommée en mètres cube.

2. La famille espère économiser 250 € par an grâce à la récupération de l'eau de pluie. Elle achète une citerne 910 €. Au bout de combien d'années les économies réalisées pourront-elles compenser l'achat de la citerne ?

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ANNEXE

A rendre avec la copie

Problème

Coût de l'eau

Quantité d'eau en

Montant en euros

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CORRIGE

Activités numériques

Exercice 1 1. a) 20

100 = 0,2. La fréquence d’apparition du jaune est de 0,2.

b) 30

100 = 0,3. La fréquence d’apparition du jaune est de 0,3.

2. a) La probabilité d’obtenir la couleur jaune est de 1 6. b) La probabilité d’obtenir la couleur noire est de 2

6 = 1 3 .

3. L’écart obtenu entre les fréquences et les probabilités s’explique par le fait qu’il ne faut pas confondre fréquence « expérimentale » et probabilité (fréquence « théorique »).

Exercice 2

Bijou 1 : 4 triangles en verre et 4 triangles en métal Bijou 2 : 6 triangles en verre et 2 triangles en métal Bijou 3 : 5 triangles en verre et 3 triangles en métal

On constate donc qu’avec un bijou 1 et un bijou 2, on obtient 2 bijou 3.

Donc 11 + 9,10

2 = 20,10

2 = 10,05. Le bijou 3 revient à 10,05 €.

Remarque : il était possible d’utiliser un système d’équations pour déterminer le coût d’un triangle en verre et d’un triangle en métal.

Exercice 3 1. Affirmation 1

2 2 2 2

(2a3) (2 )a  2 2a 3 3 4a 12a9 donc l'affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2

On appelle x le prix de départ. Après augmentation, on obtient : ²⁰ 0, 2 1, 2 x100x x x x. Après la réduction, on obtient : 1, 2 ²⁰ 1, 2 1, 2 0, 24 0,96

x100 x x x x. On n'obtient pas le prix de départ donc l'affirmation 2 est fausse.

2. Egalité 1

32 16 2 16 2 4 2

2 2 2 2 2 2

 

    donc l'égalité 1 est vraie.

Egalité 2

5 5

10 10^ 10 000,00001 et 10⁰ 1 donc l'égalité 2 est fausse. En revanche, on a : 10⁵10^⁵ 10⁰.

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Activités géométriques

Exercice 1 1. Voir figure.

2. a) ABC est un triangle rectangle et isocèle donc : ACB90 : 2 45 .

b) DCE et ACB sont des angles opposés par le sommet donc ils ont la même mesure donc 45

DCE .

3. Dans le triangle DCE rectangle en E :

sin( ) DE

DCE  DC donc sin(45) 6

 DE et donc DE 6 sin(45)4, 2cm.

4. DCE étant un triangle rectangle en E, le centre du cercle circonscrit est situé au milieu de l'hypoténue, c'est-à-dire au milieu de [DC].

Voir les cercles sur la figure.

5. M appartient au cercle de diamètre [CD] donc DMC est un triangle rectangle en M donc DMC 90 . De même, M appartient au cercle de diamètre [AC] donc AMC est un triangle rectangle en M et donc

90 AMC .

90 90 180

AMD AMCCMD    donc les points A, M et D sont alignés.

Exercice 2 1.

2. a) Volume40 20 30  24 000cm³. Le volume de ce pavé droit mesure 24 000cm³. b) Cet aquarium peut donc contenir 24 L d'eau.

3. Le volume d'une boule de diamètre 30 cm (donc de rayon 15 cm) est égal à ⁴ 15³ 3  . 4. ³ ⁴ 15³ 15³ 10 603 ³

4  3     cm . On verse donc 10 603 cm³ dans le premier aquarium.

Si on appelle h la hauteur cherchée, on doit avoir : 40 20 10 603

800 10 603 10 603

13, 3 800

h h

h cm

  



 

L'eau monte à 13,3 cm environ.

C ' C

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Problème

Partie I

1. a) C’est en 1999 qu’il y eu le plus de précipitation.

b) 867 L/m² x 5m² = 4335 L. 4335 litres d’eau sont tombés sur une surface de 5m² en 2009.

2. 1087 + 990 + 868 + 850 + 690 + 616 + 512 + 873 + 810 + 841 + 867

11 = 9004

11 = 819 L/m² au L près.

Il est tombé 819 L/m² en moyenne sur les onze années.

3. Aire = L x l = 13,9m x 10m = 139m²

La surface au sol de cette maison est de 139m².

4. V = P x S x 0,9 = 867 L/m² x 139 m² x 0,9 = 108 461,7 L = 108, 4617 m³ = 108 m³ à 1m³ près.

Partie II 1. 41

115 = 0,36 à 0,01 près.

Cela représente 36% de la consommation moyenne en eau par jour d’une personne 2. 60% de 115L = 0,60 x 115L = 69L.

Il faut 69 litres d’eau de pluie par personne et par jour.

69 x 4 x 365 = 100740L = 100,74 m³

Il faut environ 100 m³ d’eau de pluie par an pour une famille de 4 personnes.

3. L’eau de pluie récupérées en 2009 était de 108 m³ donc cela aurait pu suffire.

Partie III

1. a) Pour 100 m³, le prix payé est de 250 euros.

b) p(x) = ax car p semble être une fonction linéaire.

p(100) = 250 d’où a = 250

100 = 2,5. On en déduit donc que p(x) = 2,5x.

c)

2. 910

250 = 3,64. Au bout de 4 années, les économies réalisées pourront compenser l’achat de la citerne.

Coût de l'eau

Quantité d'eau en

Montant en euros