ENONCE
Activités numériques
Exercice 1
On considère le programme de calcul ci-dessous :
Choisir un nombre de départ
Multiplier ce nombre par ( 2)
Ajouter 5 au produit
Multiplier le résultat par 5
Ecrire le résultat obtenu
1) a) Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5.
b) Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on ?
2) Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le nombre obtenu soit 0 ?
3) Arthur prétend que, pour n'importe quel nombre de départ x, l'expression (x5)2x2 permet d'obtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison ?
Exercice 2
L'eau en gelant augmente de volume. Le segment de droite ci-dessous représente le volume de glace (en litres) obtenu à partir d'un volume d'eau liquide (en litres).
1) En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :
a) Quel est le volume de glace obtenu à partir de 6 litres de liquide ?
b) Quel volume d'eau liquide faut-il mettre à geler pour obtenir 10 litres de glace ? 2) Le volume de glace est-il proportionnel au volume d'eau liquide ? Justifier.
3) On admet que 10 litres d'eau donnent 10,8 litres de glace. De quel pourcentage ce volume d'eau augmente-t-il en gelant ?
Activités géométriques
Exercice 1
Dans la figure ci-contre :
ABCD est un carré de côté 9 cm ;
Les segments de même longueur sont codés.
1) Faire une figure en vraie grandeur.
2) a) Calculer JK.
b) L'octogone IJKLMNOP est-il un octogone régulier ? Justifier la réponse.
c) Calculer l'aire de l'octogone IJKLMNOP.
3) Les diagonales du carré ABCD se coupent en S.
a) Tracer sur la figure en vraie grandeur le cercle de centre S et de diamètre 9 cm.
b) Le disque de centre S et de diamètre 9 cm a-t-il une aire supérieure à l'aire de l'octogone ? Justrifier la réponse.
Exercice 2
SABC est une pyramide à base triangulaire ABC telle que :
2
AB cm ; AC4,8cm ; BC5, 2cm La hauteur SA de cette pyramide est 3 cm.
1) Dessiner en vraie grandeur le triangle ABC à partir des deux points B et C donnés sur l'annexe 1.
2) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
3) On veut construire un patron en vraie grandeur de la pyramide SABC.
Le début de ce patron est dessiné ci-contre à main levée.
Compléter le dessin de la feuille annexe 1 pour obtenir le patron complet, en vraie grandeur de la pyramide.
4) Calculer le volume de SABC en cm3.
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule : 1
V 3B h , où B est l'aire d'une base et h la hauteur associée.
Problème
Une entreprise doit rénover un local.
Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40 m, la largeur est 5,20 m et la hauteur sous plafond est 2,80 m.
Il comporte une porte de 2 m de haut sur 0,80 m de large et trois baies vitrées de 2 m de haut sur 1,60 m de large.
Première partie :
Peinture des murs et du plafond
Les murs et le plafond doivent être peints. L'étiquette suivante est collée sur les pots de la peinture choisie.
1) a) Calculer l'aire du plafond.
b) Combien de litres de peinture faut-il pour peindre le plafond ? 2) a) Prouver que la surface de mur à peindre est d'environ 54 m².
b) Combien de litres de peinture faut-il pour peindre les murs ?
3) De combien de pots de peinture l'entreprise doit-elle disposer sur ce chantier ? Peinture pour murs et plafond
Séchage rapide Contenance : 5 litres Utilisation recommandée :
1 litre pour 4 m²
Deuxième partie : Pose d'un dallage sur le sol
1) Déterminer le plus grand diviseur commun à 640 et 520.
2) Le sol du local doit être entièrement recouvert par des dalles carrées de même dimension. L'entreprise a le choix entre des dalles dont le côté mesure 20 cm, 30 cm, 35 cm, 40 cm ou 45 cm.
a) Parmi ces dimensions, lesquelles peut-on choisir pour que les dalles puissent être posées sans découpe ?
b) Dans chacun des cas trouvés, combien faut-il utiliser de dalles ?
Troisième partie : Coût du dallage
Pour l'ensemble de ses chantiers, l'entreprise se fournit auprès de deux grossistes. Les tarifs proposés pour des paquets de 10 dalles sont :
Grossiste A : 48 € le paquet, livraison gratuite.
Grossiste B : 42 € le paquet, livraison 45 € quel que soit le nombre de paquets.
1) Quel est le prix pour une commande de 9 paquets : a) avec le grossiste A ?
b) avec le grossiste B ?
2) Exprimer en fonction du nombre n de paquets :
a) Le prix PA en euros d'une commande de n paquets avec le grossiste A ; b) Le prix PB en euros d'une commande de n paquets avec le grossiste B.
3) a) Représenter graphiquement chacun de ces deux prix en fonction de n dans le repère donné sur la feuille annexe 2.
b) Quel est, selon le nombre de paquets achetés, le tarif le plus avantageux ?
Feuille annexe 1 : à rendre avec la copie
Feuille annexe 2 : à rendre avec la copie
CORRIGE
ACTIVITES NUMERIQUES
Exercice1 1) a)
2 ( 2) 4 4 5 1 1 5 5
Quand le nombre de départ est 2, on obtient 5.
b)
3 ( 2) 6
6 5 1
1 5 5
Quand le nombre de départ est 3, on obtient 5.
2) 1ère méthode : en "remontant" le programme de calcul : 0 : 5 0
0 5 5
5 : ( 2) 2, 5
2ème méthode : en résolvant une équation
On appelle x le nombre choisi au départ. En appliquant le programme de calcul à x, on obtient successivement :
2 2
2 5
5 ( 2 5) 10 25
x x
x
x x
On veut obtenir 0, donc on doit avoir 10x250 10 25 25 0 25
10 25
25 2, 5 10 x x x
Il faut donc choisir 2,5 au départ pour obtenir 0.
3) (x5)2x2 x2 2 x 5 52 x2 x210x25x2 10x25
Les calculs obtenus à la question 2 (2ème méthode) prouvent qu'Arthur a raison.
Exercice 2
1) a) A partir de 6 litres de liquide, on peut obtenir 6,5 litres de glace.
b) Pour obtenir 10 litres de glace, il faut geler 9,25 litres d'eau environ.
2) Le volume de glace est proportionnel au volume d'eau liquide car la représentation graphique est une droite passant par l'origine.
3) 10,8 10 0,8
En gelant, le volume d'eau augmente de 0,8 L.
0,8 100 8
10
Le volume d'eau augmente de 8% en gelant.
ACTIVITES GEOMETRIQUES Exercice 1
2) a) JBK est un triangle rectangle en B. D'après le théorème de Pythagore :
2 2 2
2 2 2
2
3 3 18
18 JB BK JK
JK JK
JK
b) L'octogone IJKLMNOP n'est pas régulier car tous ses côtés ne sont pas de la même longueur (IJ JK car IJ 3cm et JK 18cm).
c) Aire IJKLMNOP( ) Aire ABCD( ) 4 Aire JBK( )
( ) 9 9 81 2
Aire ABCD cm 3 3 2
( ) 4,5
2 2
JB BK
Aire JBK cm
donc Aire IJKLMNOP( )81 4 4,5 63cm2.
3) a) Voir figure
b) Le disque a un rayon de 4,5 cm.
2 2
4,5 63, 6 Aire du disque cm .
L'aire du disque est donc supérieure à l'aire de l'octogone.
Exercice 2 1)
2) Dans le triangle ABC, [BC] est le côté le plus long.
2 2
2 2 2 2
5, 2 27, 04
2 4,8 4 23, 04 27, 04 BC
AB AC
donc BC2 AB2AC2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle ABC est rectangle en A.
3) Voir figure.
4) 1
( )
SABC 3
V Aire BAC AS 2 4,8 2
( ) 4,8
2 2
AB AC
Aire BAC cm . 1 3
4,8 3 4,8
SABC 3
V cm .
Le volume de la pyramide mesure 4,8cm3.
PROBLEME
Première partie
1) a) 6, 4 5, 2 33, 28.
L'aire du plafond mesure 33, 28m2. b) 33, 28 : 48,32
Il faut 8,32 L de peinture pour peindre le plafond.
2) a) Aire latérale(6, 4 5, 2 6, 4 5, 2) 2,8 23, 2 2,8 64,96m2 0,80 2 1, 6 2
Aire de la porte m
' 1, 60 2 3, 2 2
Aire d une baie vitrée m
64,96 1, 6 3 3, 2 53, 76 2
Aire dela surface à peindre m donc l'aire de la surface à peindre vaut environ 54m2. b) 53, 76 : 4 13, 44 .
il faut 13,44 L de peinture pour peindre les murs (13,5 L si on prend 54m2).
3) 8,32 13, 44 21, 76 21, 76 : 54,352
Il faut 5 pots de peinture pour ce chantier.
Deuxième partie
1) On utilise l'algorithme d'Euclide : 640 520 1 120
520 120 4 40 120 40 3 0
donc PGCD(640 ; 520)40
2) a) Pour que les dalles puissent être posées sans découpe, le côté du carré doit être un diviseur commun à 640 et 520. On peut donc choisir des dalles de 20 cm ou 40 cm de côté.
b) 640 : 2032 520 : 2026 32 26 832 Si les dalles mesurent 20 cm de côté, il en faut 832.
640 : 40 16 520 : 40 13 16 13 208 Si les dalles mesurent 40 cm, il en faut 208.
Troisième partie 1) Pour 9 paquets :
a) Grossiste A : 48 9 432 € b) Grossiste B : 42 9 45 423 €
2) Pour n paquets : a) PA48n
b) PB 42n45 3) a)
b) Les droites se coupent pour n7,5.
Jusqu'à 7 paquets, le tarif A est le plus avantageux. A partir de 8 paquets, le tarif B est le plus avantageux.
Tarif A
Tarif B
