ENONCE Activités numériques

ENONCE

Activités numériques

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte rapporte 1 point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point.

Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.

Réponse A Réponse B Réponse C

Question 1 Les diviseurs communs

à 30 et 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 et 7. 1 ; 2 ; 3 et 6 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 Question 2 Un sac contient 10

boules blanches et 5 boules noires. On tire une boule au hasard. La probabilité de tirer une boule noire est égale à :

1 3

1 2

1 5

Question 3 La représentation graphique des solutions de l'inéquation

7x 5 4x1 est : Question 4

 

5

10 10

10





 est égal à ^{107 1015 103}

Exercice 2

On donne l'expression : A(2x1)(x5). 1. Développer et réduire A.

2. Calculer A pour x 3. 3. Résoudre l'équation : A0.

Exercice 3

Sur le graphique ci-dessous, on a reporté les résultats obtenus en mathématiques par Mathieu tout au long de l'année scolaire.

0 2 0 2 -2 0

1. A quel devoir Mathieu a-t-il obtenu sa meilleure note ?

2. Calculer la moyenne des notes de Mathieu sur l'ensemble de l'année.

3. Déterminer l'étendue de la série de notes de Mathieu.

4. a. Combien Mathieu a-t-il eu de notes strictement inférieures à 10 sur 20 ? b. Exprimer ce résultat en pourcentage du nombre total de devoirs.

Activités géométriques

Exercice 1

On considère la figure ci-contre qui n'est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de refaire la figure.

 ABD est un triangle isocèle en A tel que 75

ABD  ;

 C est le cercle circonscrit au triangle ABD ;

 O est le centre du cercle C ;

 [BM] est un diamètre de C ;

1. Quelle est la nature du triangle BMD ? Justifier la réponse.

2. a. Calculer la mesure de l'angle BAD.

b. Citer un angle inscrit qui intercepte le même arc que l'angle BMD. c. Justifier que l'angle BMD mesure 30°.

3. On donne : BD5, 6cm et BM 11, 2cm. Calculer DM. On arrondira le résultat au dixième près.

C

Exercice2

Dans cet exercice, les parties I et II sont indépendantes.

Un silo à grains a la forme d'un cône surmonté d'un cylindre de même axe. A, I, O et S sont des points de cet axe.

On donne : 1, 60 SA m

2, 40 AI  m

1, 20 AB m.

Partie I : on considère la figure 1 ci-contre.

1. On rappelle que le volume d'un cône est donné par la formule : ^{1 2}

3   r h et que 1dm³ 1litre. a. Montrer que le volume du cône, arrondie au millième près, est de 2,413 m³.

b. Sachant que le volume du cylindre, arrondie au millième près, est de 10,857 m³, donner la contenance totale du silo en litres.

2. Actuellement, le silo à grains est rempli jusqu'à une hauteur SO1, 20m. Le volume de grains prend ainsi la forme d'un petit cône de sommet S et de hauteur [SO]. On admet que ce petit cône est une réduction du grand cône de sommet S et de hauteur [SA].

a. Calculer le coefficient de réduction.

b. En déduire le volume de grains contenu dans le silo. On exprimera le résultat en m³ et on en donnera la valeur arrondie au millième près.

Partie II : on considère la figure 2 ci-contre.

Pour réaliser des travaux, deux échelles représentées par les segments [BM] et [CN] ont été posées contre le silo.

On donne : HM 0,80m et HN 2m. Les deux échelles sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.

Problème

Monsieur Duchêne veut barder (recouvrir) de bois le pignon nord de son atelier.

Ce pignon ne comporte pas d'ouverture.

On donne AD6m ; AB2, 20m et 1,80

SM  m.

M est le milieu de [BC]

Les parties I, II et III sont indépendantes.

Partie I

1. Montrer que l'aire du pignon ABSCD de l'atelier est de 18, 6m².

2. Les planches de bois qui serviront à barder le pignon sont conditionnées par lots. Un lot permet de couvrir une surface de 1, 2m².

a. Combien de lots monsieur Duchêne doit-il acheter au minimum ?

b. Pour être sûr de ne pas manquer de bois, monsieur Duchêne décide d'acheter 18 lots. Un lot est vendu au prix de 49 €.

Combien monsieur Duchêne devrait-il payer ?

c. Monsieur Duchêne a bénéficié d'une remise de 12 % sur la somme à payer.

Finalement, combien Monsieur Duchêne a-t-il payé ?

Partie II

Dans un premier temps, Monsieur Duchêne va devoir fixer des tasseaux de bois sur le mur.

Ensuite, il placera les planches du bardage sur les tasseaux, comme indiqué sur la figure ci-contre.

Les tasseaux seront placés parallèlement au côté [AB].

Cette partie a pour but de déterminer la longueur de chaque tasseau en fonction de la distance qui les sépare du côté [AB].

1. Sachant que M est le milieu de [BC], calculer BM.

2. Dans cette question, on suppose que le tasseau [EF] est placé à 0,50 m du côté [AB].

On a donc : AEBH 0,50m.

a. En se plaçant dans le triangle SBM et en utilisant le théorème de Thalès, calculer FH.

b. En déduire la longueur EF du tasseau.

3. Dans cette question, on généralise le problème et on suppose que le tasseau [EF] est placé à une distance x du côté [AB].

On a donc : AEBH x (avec x variant entre 0 et 3 m).

a. Montrer que FH 0, 6x.

b. En déduire l'expression de EF en fonction de x.

4. Dans cette question, on utilisera le graphique de l'annexe qui donne la longueur d'un tasseau en fonction de la distance x qui le sépare du côté [AB].

On laissera apparents les tracés ayant permis les lectures graphiques.

a. Quelle est la longueur d'un tasseau sachant qu'il a été placé à 1,50 m du côté [AB] ?

b. On dispose d'un tasseau de 2,80 m de long que l'on ne veut pas couper. A quelle distance du côté [AB] doit-il être placé ?

Partie III

Monsieur Duchêne a besoin de connaître la

mesure de l'angle SBM pour effectuer certaines découpes. On rappelle que : SM 1,80m et

6 BC m.

Déterminer la mesure de l'angle SBM. On arrondira le résultat au degré près.

DOCUMENT REPONSE A RENDRE AVEC VOTRE COPIE

CORRIGE

Activités numériques

Exercice 1

1) Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

On en déduit que les diviseurs communs de 30 et 42 sont 1, 2, 3, 6 (réponse B).

2) ( ) ^{5 5 1}

10 5 15 3 p noire   

 (réponse A).

3)

7 5 4 1

7 5 4 4 1 4

3 5 1

3 5 5 1 5

3 6

6 2 3

x x

x x x x

x x x x x

  

    

 

   







Réponse A

4)

 

5 5 5

10 10 10 10 10

10 10

10 10 10

  

  

  

      (réponse A).

Exercice 2 1)

2 2

(2 1)( 5)

2 10 5

2 9 5

A x x

A x x x A x x

  

   

  

 2x 1

x 2x² x

5 10x 5 2) Lorsque x 3 :







( 6 1)( 3 5) 5 ( 8) 40 A A A A

     

    

   

 3)

0

(2 1)( 5) 0 A

x x



  

2 1 0

2 1 1 0 1

2 1

1 2 x x x x

 

   

 

 

ou 5 0

5 5 0 5 5

x x x

 

   



L'équation a deux solutions : 1

2 et 5.

Exercice 3

1) Mathieu a obtenu sa meilleure note au 9^ème devoir.

2) (13 12 9 11 6 11 11 17 19 14 3 12) :12 11,5            La moyenne est de 11,5.

3) étendue19 3 16  . L'étendue est égale à 16.

4) a) Il y a 3 notes strictement inférieures à 10 sur 20.

b) ³ 100 25

12  . 25% des notes sont strictement inférieures à 10 sur 20.

Activités géométriques

Exercice 1

1) D appartient au cercle de diamètre [BM] donc BMD est un triangle rectangle en D.

2) a) BAD est un triangle isocèle en A donc BDAABD 75 . On en déduit : BAD180 2 75   30 .

b) BAD est un angle inscrit interceptant le même arc que BMD.

c) B et D appartiennent au cercle de centre O. A et M appartiennent au grand arc de cercle BD. D'après le théorème de l'angle inscrit :

2

BMDBAD BOD donc BMD mesure 30°.

3) BMD est un triangle rectangle en D. D'après le théorème de Pythagore :

2 2 2

2 2 2

2 2

2

11, 2 5, 6 125, 44 31, 36

125, 44 31, 36 94, 08

94, 08 9, 7

BM BD DM

DM DM DM

DM DM

DM cm

 

 

 

 







Exercice 2 Partie 1

1) a) 1 ^{2 3}

1, 20 1, 60 2, 412

cône 3

V      m . b) 2, 413 10,857 13, 27 

Le volume du silo est de 13,27 m³, soit 13270 dm³ (et donc 13270 L) 2) a) 1, 20 12 3

1, 60 16 4 SO

SA    . Le coefficient de réduction est de ³

4 (ou 0,75).

b) 2.412 0, 75 ³ 1, 018.

Le volume de grains contenu dans le silo est de 1,018 m³ environ.

Partie 2

1, 60 1, 60 1, 60 2, 40 4 0, 4 HB

HC   

 0,8 0, 4

2 HM

HN  

Donc ^{HB HM}

HC  HN . H, B, C sont alignés et H, M, N sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les deux échelles (BM) et (CN) sont parallèles.

PROBLEME Partie 1

1) Aire ABCD( ) AB AD 2, 20 6 13, 2  m².

( ) ^{6 1,80} 5, 4 ²

2 2

BC SM

Aire BSC      m . Aire ABSCD( ) 13, 2 5, 4 18, 6   m².

2) a) 18, 6 :1, 2 15,5 . Il faut acheter au minimum 16 lots.

b) 18 49 882. Il devra payer 882 €.

c) 882 ¹² 105,84

100 . La remise est de 105,84 €.

882 105,84 776,16. Il a payé 776,16 €.

Partie 2

1) 6

2 2 3

BM  BC   m.

2) a) B, F, S sont alignés. B, H, M sont alignés. (FH) et (SM) sont parallèles (car perpendiculaires à (BC)). D'après le théorème de Thalès :

BF BH FH BS  BM  SM

0,5

3 1,8

BF FH

BS  

0,5 1,8 3 0,3

FH    m.

b) EFEHFH2, 2 0,3 2,5m 3) a) En reprenant l'égalité de la question 2a :

BH FH

BM  SM

3 1,8 x FH



1,8 0, 6 3

FH  x  x.

b) EFEHFH2, 2 0, 6 x.

4) a) La longueur du tasseau est de 3,1 m (voir graphique).

b) Il doit être placé à 1 m du côté [AB] (voir graphique).

Partie 3

Dans la triangle rectangle BSM :

tan( ) 1,8 0, 6

3 SBM SM

 BM   donc SBM tan (0, 6)^1  31 .