ENONCE Activités numériques

ENONCE

Activités numériques

Exercice 1

1) Calculer A : 8 3 4 1 2 1,5

A  

   .

2) Pour calculer A, un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches ci-dessous : 8 + 3  4  1 + 2  1 . 5 = Expliquer pourquoi il n'obtient pas le bon résultat.

Exercice 2

Trois personnes, Aline, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes. Chacun tire au hasard une bille de son sac.

1) Le contenu des sacs est le suivant

Sac d'Aline : Sac de Bernard : Sac de Claude :

5 billes rouges

10 billes rouges et 30 billes noires

100 billes rouges et

3 billes noires

Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ?

2) On souhaite qu'Aline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d'Aline ?

Exercice 3

On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions. Ces représentations sont nommées C1, C₂ et C₃.

L'une d'entre elles est la représentation graphique d'une fonction linéaire. Une autre est la représentation graphique de la fonction f telle que f x: 0, 4x3

1) Lire graphiquement les coordonnées du point B.

2) Par lecture graphique, déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe C₃ avec l'axe des abscisses.

3) Laquelle de ces représentations est celle de la fonction linéaire ? Justifier.

4) Laquelle de ces représentations est celle de la fonction f ? Justifier.

5) Quel est l'antécédent de 1 par la fonction f ? Justifier par un calcul.

6) A est le point de coordonnées (4, 6 ;1, 2). A appartient-il à C₂ ? Justifier par un calcul.

Activités géométriques

Exercice 1

L'unité de longueur est le centimètre.

ABC est un triangle tel que : AB16cm, AC14cm et BC8cm. 1) a) Tracer en vraie grandeur le triangle ABC sur la copie.

b) Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.

2) Le mathématicien Héron d'Alexandrie (1^er siècle), a trouvé une formule permettant de calculer l'aire d'un triangle : en notant a, b, c les longueurs des trois côtés et p son périmètre, l'aire A du triangle est donnée par la formule :

A 2 2 2 2

p p p p

a b c

   

       

Calculer à l'aide de cette formule l'aire du triangle ABC.

Donner le résultat arrondi au cm² près.

Exercice 2

Dans cet exercice, on étudie la figure ci-contre où :

 ABC est un triangle isocèle tel que 4

ABAC cm.

 E est le symétrique de B par rapport à A.

Partie 1 : On se place dans le cas particulier où la mesure de ABC est 43°.

1) Construire la figure en vraie grandeur.

2) Quelle est la nature du triangle BCE ? Justifier.

3) Prouver que l'angle EAC mesure 86°.

Partie 2 : Dans cette partie, on se place dans le cas général où la mesure de ABC n'est pas donnée.

Jean affirme que pour n'importe quelle valeur de ABC, on a : EAC2ABC. Jean a-t-il raison ? Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.

E

B C

A

Probème

On considère un triangle ABC tel que : AB17,5cm ; BC14cm ; AC10,5cm. Partie 1

1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.

2) Soit P un point du segment [BC].

La parallèle à la droite (AC) passant par P coupe le segment [AB]

en R.

La parallèle à la droite (BC) passant par R coupe le segment [AC]

en S.

Montrer que le quadrilatère PRSC est un rectangle.

La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.

3) Dans cette question, on suppose que le point P est situé à 5 cm du point B.

a) Calculer la longueur PR.

b) Calculer l'aire du rectangle PRSC.

Partie 2

On déplace le point P sur le segment [BC] et on souhaite savoir quelle est la position du point P pour laquelle l'aire du rectangle PRSC est maximale.

1) L'utilisation d'un tableur a conduit au tableau de valeurs suivant :

Longueur BP en cm 0 1 3 5 8 10 12 14

Aire de PRSC en cm² 0 9,75 24,75 36 18 0

Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes du tableau.

Justifier par un calcul la valeur trouvée pour BP10cm.

2) Un logiciel a permis d'obtenir la représentation graphique suivante :

S

R P

B

C A

Aire du rectangle PRSC en fonction de la longueur BP

A l'aide d'une lecture graphique, donner :

a) Les valeurs de BP pour lesquelles le rectangle PRSC a une aire de 18 cm².

b) La valeur de BP pour laquelle l'aire du rectangle semble maximale.

c) Un encadrement à 1 cm² près de l'aire maximale du rectangle PRSC.

Partie 3

1) Exprimer PC en fonction de BP.

2) Démontrer que PR est égale à 0, 75BP.

3) Pour quelle valeur de BP le rectangle PRSC est-il un carré ?

CORRIGE

Activités numériques

Exercice 1 1)

8 3 4 1 2 1, 5 8 12

1 3 20

4 5 A A A A

  

 

 







2) Pour obtenir le bon résultat, il aurait fallu rajouter des parenthèses pour tenir compte de l'ordre des calculs (sinon la priorité des opérations ne donne pas le même résultat).

Exercice 2

1) Aline a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge car pour elle l'évènement est certain (car le sac ne contient que des billes rouges).

2) Pour qu'Aline ait la même probabilité que Bertrand de tirer une bille rouge, la proportion de billes rouges doit être la même que dans le sac de Bertrand.

5 3 15  . Il faut donc ajouter 15 billes noires dans le sac d'Aline.

Exercice 3 1) B( 4 ; 4, 6) .

2) C₃ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses 1, 2 et 4.

3) La courbe représentative d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine donc C₁ est représentative d'une fonction linéaire.

4) f est une fonction affine donc sa courbe représentative est une droite autre que C₁. C₂ est donc la courbe représentative de la fonction f.

5) L'antécédent de 1 par la fonction f est 5.

On cherche x tel que : 0, 4x 3 1 0, 4 2

2 0, 4 5

x x x

  

 





6) L'image de 4,6 par la fonction f est : 0, 4 4, 6 3 1,16 1, 2    donc le point A(4, 6 ;1, 2) n'appartient pas à C .

Activités géométriques

Exercice 1 1) a)

b) Dans le triangle ABC, [AB] est le côté le plus long.

2 2

16 256 AB  

2 2

196 64 260 AC BC   

2 2 2

AB  AC BC donc ABC n'est pas un triangle rectangle.

2) pABACBC16 14 8  38cm.

2

38 38 38 38

16 14 8

2 2 2 2

19 3 5 11 3135

56 A A A

A cm

   

       

   

   





Exercice 2 Partie 1 1)

C

A B

nbre3=8 nbre2=14 nbre1=16

E

nbre2=94 A

nbre1=4

2) 1^ère méthode :

ABAEAC donc C appartient au cercle de diamètre [BE] donc BCE est un triangle rectangle en C.

2^ème méthode :

BAC est un triangle isocèle en A donc BCAABC 43 et BAC180 2 43   94 . 180 94 86

CAE   .

AEC est un triangle isocèle en A donc ^{180 86} 47 ACE 2  .

43 47 90

BCEBCAACE      donc BCE est un triangle rectangle en C.

3) Voir 2^ème méthode ci-dessus.

Partie 2

On considère le cercle circonscrit au triangle BCE. C et E sont deux points du cercle. B appartient au grand arc de cercle CE. D'après le théorème de l'angle inscrit : EAC 2 ABC.

Autre méthode :

BAC est un triangle isocèle en A donc ABC ACB et BAC180 2 ABC

 

180 180 180 2 180 180 2 2

EAC BAC   ABC    ABC ABC

Problème

Partie 1

1) Dans le triangle ABC, [AB] est le côté le plus long.

2 2

17,5 306, 25

AB  

2 2 2 2

14 10,5 196 110, 25 306, 25

BC AC     

donc AB² BC²AC². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle ABC est rectangle en C.

2) (RP) et (SC) sont parallèles. (PC) et (RS) sont parallèles. Par conséquent, PRSC est un parallélogramme. De plus, il a un angle droit donc PRSC est un rectangle.

3) a) B, R et A sont alignés. B, P et C sont alignés. (RP) et (SC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : BR BP RP

BA BC  AC. 5

17,5 14 10,5

BR RP

  5 10,5

3, 75 RP 14  cm.

     

Partie 2

1) Pour BP5cm, l'aire du rectangle PRSC mesure 33,75 cm² (voir partie 1).

Pour BP10cm : 10 10,5

14 7,5

RP   cm (en reprenant les calculs de la question 3a).

14 10 4 PC   cm.

( ) 7,5 4 30 2

Aire PRSC RP PC    cm .

2) a) L'aire du rectangle PRSC mesure 18 cm² lorsque BP2cmou 12cm. b) L'aire du rectangle PRSC semble maximale pour BP7cm.

c) 36cm² Aire PRSC( )37cm².

Partie 3

1) PCBCBP 14

PC BP

2) En reprenant l'égalité du théorème de Thalès :

14 10, 5 BP RP BC AC BP PR





donc ^10,5

14 PR BP 0, 75 PR BP.

3) Le rectangle PRSC est un carré lorsque PRPC 0, 75BP14BP

1, 75BP14 14 1, 75 BP

8 BP cm.