COLLÈGE LA PRÉSENTATION
BREVET BLANC Février 2013 Classe de 3e
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 heures
Présentation et orthographe : 4 points
Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments usuels de dessin.
EXERCICE 1 (2 points) 1) Calculer A = 83×4
12×1,5 = 8+12 1+3 = 20
4 = 5
2) Pour calculer A un élève a tapé sur la calculatrice la succession de touches ci-dessous:
8 + 3 × 4 ÷ 1 + 2 × 1 . 5 =
Expliquer pourquoi il n'obtient pas le bon résultat.
Cet élève n'obtient pas le bon résultat car il aurait dû saisir son calcul en utilisant des parenthèses pour séparer le calcul au numérateur du calcul au dénominateur :
(8+3×4)÷(1+2×1,5)
EXERCICE 2 (4 points)
Trois personnes, Aline, Bernard et Claude ont chacune un sac de billes. Chacune tire au hasard une bille de son sac.
1) Le contenu des sacs est le suivant :
Sac d'Aline : Sac de Bernard : Sac de Claude :
5 billes rouges 10 billes rouges
30 billes noires
100 billes rouges 3 billes noires Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ?
Aline n'a que des billes rouges, donc la probabilité de tirer une bille rouge est de 1 : c'est la plus grande probabilité.
2) On souhaite qu'Aline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d'Aline ?
Dans le sac de Bernard, il y a deux fois plus de billes rouges que dans le sac d'Aline. Comme 30/2=15, il suffit de rajouter 15 billes noires dans le sac d'Aline pour qu'elle ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge.
EXERCICE 3 (6 points)
On considère le programme de calcul suivant :
Choisir un nombre de départ;
a) Multiplier ce nombre par 3;
b) Ajouter le carré du nombre choisi ;
c) Multiplier par 2;
1) Montrer que, si on choisit le nombre 10, le résultat obtenu est 260.
10×3=30 ; 30+102=30+100=130 ; 130×2=260. Donc en choisissant 10 comme nombre de départ, le résultat obtenu est bien 260.
2) Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :
* le nombre choisi est – 5 ;
−5×3=−15 ; −15+(−5)2=−15+25=10 ; 10×2=20. Le nombre obtenu est 20.
* le nombre choisi est 2 3 ; 2
3×3=2 ; 2+
(
23)
2=2+94=18 9 +49=22 9 ; 22
9 ×2=44
9 . Le nombre obtenu est 44 9 .
* le nombre choisi est 1,5.
1,5×3=4,5 ; 4,5+(1,5)2=6,75 ; 6,75×2=13,5. Le nombre obtenu est 13,5.
3) Quels nombres peut-on choisir pour que le résultat obtenu soit 0 ? Si on appelle x le nombre recherché, le programme de calcul donne : Multiplier ce nombre par 3 :x×3=3x ;
Ajouter le carré du nombre choisi :3x+x2 ; Multiplier par 2 : (3x+x2)×2=6x+2x2
Pour que le résultat obtenu soit 0, il suffit d'écrire : 6x+2x2=0. En résolvant cette équation, on trouve la valeur de x recherchée.
On factorise cette expression par 2x : 2x(3+x)=0
Or, un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.
Donc 2x=0 ou 3+x=0. Soit x=0 ou x=−3.
Pour que le résultat obtenu soit 0, il faut donc choisir 0 ou -3.
EXERCICE 4 (3 points)
Dans cet exercice, vous laisserez apparentes toutes vos recherches. Même si ce travail n'est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation.
Léa observe au microscope, à midi, une cellule de bambou.
Au bout d'une heure, la cellule s'est divisée en deux. On a alors deux cellules.
Au bout de deux heures ces deux cellules se sont divisées en deux.
Léa note toutes les heures les résultats de son observation.
À quelle heure notera-t-elle, pour la première fois, plus de 200 cellules ?
Au bout d'une heure, on a deux cellules. Au bout de deux heures, on a quatre cellules. En poursuivant le raisonnement, au bout de trois heures, on a huit cellules.
Temps : Nombre de cellules :
1h 2 = 21
2h 4 = 2²
3h 8 = 23
… …
8h 256 = 28
On dépasse donc les 200 cellules au bout de huit heures.
EXERCICE 5 (5 points)
Lors d'un contrôle, une classe de 3e a obtenu les notes suivantes :
8 – 7 – 8 – 4 – 13 – 13 – 13 – 10 – 4 – 17 – 18 – 4 – 13 – 11 – 9 – 15 – 5 – 7 – 11 – 18 – 6 – 9 – 2 – 19 – 12 – 12 – 6 – 15 .
1) Reproduire et compléter le tableau suivant en rangeant toutes les notes par ordre croissant.
Notes 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 17 18 19 total
Effectifs 1 3 1 2 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 1 28
2) Quel est l'effectif total de ce groupe ? L'effectif total de ce groupe est de 28 élèves.
3) Quelle est la moyenne des notes de cette classe ? Arrondir le résultat à 0,1 près.
̄x=2×1+4×3+5×1+6×2+7×2+8×2+9×2+10×1+11×2+12×2+13×4+15×2+17×1+18×2+19×1
28 =289
28=10,3
La moyenne des notes de cette classe est donc de 10,3 arrondie au dixième.
4) Donner la médiane de ces notes.
Comme il y 28 notes, la note médiane se situera entre la 14e et la 15e note.
La 14e note est 10 et la 15e est 11. Donc une note médiane de cette série peut être 10,5.
5) On choisit au hasard une copie. Quelle est la probabilité pour que la note de cette copie soit supérieure ou égale à 10 ?
Le nombre de copies dont la note est supérieure ou égale à 10 est de 15. Donc la probabilité pour qu'un copie choisie au hasard ait une note supérieure ou égale à 10 est de 15
28 . EXERCICE 6 (3 points)
Écrivez toutes les étapes permettant de justifier votre démarche. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation de cet exercice.
Alexis, Julie et Dany pratiquent régulièrement la marche à pied. Les trois amis veulent comparer leur vitesse respective.
Alexis marche à 7 km/h.
Julie estime sa vitesse à 200 cm/s.
Quant à Dany, il fait une moyenne de 1,44×105m/jour.
Quel est le plus rapide des trois amis ?
Pour comparer les vitesses des trois marcheurs, il faut exprimer ces vitesses dans la même unité, par exemple le mètre par seconde. En sachant que 1 m/s = 3,6 km/h, on a alors :
Alexis : 7 ÷ 3,6 ≈ 1,94 m/s Julie : 200 cm/s = 2 m/s
Dany : 1,44×105 ÷ (24 × 3600) ≈ 1,67 m/s Le plus rapide est donc Julie.
EXERCICE 7 (4 points)
Les points O, A et A' sont alignés.
Les points O, B et B' sont alignés.
Les points O, C et C' sont alignés.
Sur le dessin ci-contre (qui n'est pas en vraie grandeur) : (AB) // (A'B') et (BC) // (B'C').
OB = 4 cm, OB' = 5 cm, OA = 3 cm, OC' = 6 cm.
1. Calculer OC.
Les droites (CC') et (BB') sont sécantes en O et (BC) // (B'C').
D'après le théorème de Thalès : OC
OC '= OB
OB '= BC B ' C ' En remplaçant par les valeurs numériques, on a alors : OC
6 =4
5= BC B ' C ' On en déduit OC=6×4
5 =4,8cm.
2. Calculer OA'.
Les droites (AA') et (BB') sont sécantes en O et (BA) // (B'A').
D'après le théorème de Thalès : OA OA'= OB
OB'= AB A ' B ' . En remplaçant par les valeurs numériques, on a alors : 3
OA'=4
5= AB A' B ' On en déduit OA'=3×5
4 =3,75cm.
3. Démontrer que (AC) // (A'C').
Les droites (CC') et (AA') sont sécantes en O.
D'une part : OA OA'= 3
3,75=4 5 D'autre part : OC
OC '=4,8 6 =4
5 . On constate que OA
OA'= OC
OC ' . De plus, les points O, A, A' et O, C, C' sont alignés dans le même ordre.
Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AC) et (A'C') sont parallèles.
EXERCICE 8 (6 points)
On a dessiné et codé quatre figures géométriques. Dans chaque cas, préciser si le triangle ABC est rectangle ou non. Une démonstration rédigée n'est pas attendue. Pour justifier, on se contentera de citer une propriété ou d'effectuer un calcul.
figure 1 : Le triangle ABC est inscrit dans un cercle dont le diamètre n'est pas un des côtés du triangle, donc le triangle n'est pas rectangle.
figure 2 : dans le triangle ABC, on a d'une part AC² = 4,25² = 18,0625, d'autre part AB² + BC² = 3,75² + 2² = 18,0625 ; l'égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle est rectangle.
figure 3 : dans le triangle ABC, la médiane CD a pour longueur la moitié de la longueur AB, donc le triangle est rectangle.
figure 4 : dans le triangle ABC, ̂BAC + ̂ABC = 49 + 36 = 85°. Donc ̂ACB = 180 – 85 = 95°, le triangle n'a pas d'angle droit donc il n'est pas rectangle.
EXERCICE 9 (3 points)
Le petit carré a une aire de 4 cm² et le grand carré a une longueur double de celle du petit, donc son aire vaut quatre fois celle du petit, soit 16 cm². La somme des deux aires est donc 16 + 4 = 20 cm².
Si l'on construit un triangle rectangle dont l'un des côtés de l'angle droit mesure 2 et l'autre 4, l'hypoténuse mesurera
√
20 d'après le théorème de Pythagore : 2² + 4² = 4 + 16 = 20.Le carré dont le côté est cette hypoténuse aura donc l'aire désirée.