ENONCE Activités numériques

(1)

3 2009 - Pondichéry

ENONCE Activités numériques

Exercice 1

1) Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :

7 4 5

15 15 8 A   2) B3 2 98

a) Donner la valeur arrondie au centième de B.

b) Ecrire B sous la forme a 2, où a est un entier.

Exercice 2

1) 2 est-il solution de l'inéquation 3x12 4 2x ? Justifier.

2) 2 est-il solution de l'équation (x2)(2x 1) 0 ? Justifier.

3) 2 est-il solution de l'équation x³ 8 0 ? Justifier.

4) Le couple ( 2 ;1) est-il solution du système ² ³ ¹

5 3

x y x y

  

  

 ? Justifier.

Exercice 3

1) Déterminer le PGCD de 238 et 170 par la méthode de votre choix. Faire apparaître les calculs intermédiaires.

2) En déduire la forme irréductible de la fraction ¹⁷⁰ 238.

Exercice 4

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Aucune justification n'est demandée.

Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Chaque réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Pour chaque des trois questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.

Enoncé :

Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées : les boules blanches portent les numéros 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2.

1

1 2

3

1

2

(2)

Réponse A Réponse B Réponse C 1) Quelle est la probabilité de tirer une boule

blanche ?

2 3

6

4 4

2) Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ?

1 4

1 6

1 3 3) Quelle est la probabilité de tirer une boule

blanche numérotée 1 ?

1 3

2 4

3 6

Activités géométriques

Exercice 1

On considère une bougie conique représentée ci-contre.

(la figure n'est pas aux dimensions réelles).

Le rayon OA de sa base est 2,5 cm.

La longueur du segment [SA] est 6,5 cm.

1) Sans justifier, donner la nature du triangle SAO et le construire en vraie grandeur.

2) Montrer que la hauteur SO de la bougie est 6 cm.

3) Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie ; on donnera la valeur arrondie au dixième de cm³.

4) Calculer l'angle ASO : on donnera la valeur arrondie au degré.

Exercice 2

On considère un triangle EFG tel que EF 6cm, FG7,5cm et GE4,5cm. 1) Construire le triangle EFG.

2) Montrer que le triangle EFG est rectangle et préciser en quel point.

3) Construire le point M milieu de [EF] et construire la droite parallèle à [EG] passant par M ; elle coupe [FG] en N.

4) Montrer que N est le milieu de [FG].

A

O S

(3)

Problème

Les longueurs sont exprimées en centimètres.

TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que : 3

TP , PA5 et AR4.

M est un point variable du segment [PA], et on note x la longueur du segment [PM].

1) Dans cette question, on se place dans le cas où x = 1

a) Faire une figure.

b) Démontrer que, dans ce cas, le triangle ARM est isocèle en A.

c) Calculer les aires des triangles PTM et ARM.

2) Dans cette question, on se place dans le cas où x est un nombre inconnu.

a) Donner les valeurs entre lesquelles x peut varier.

b) Montrer que l'aire du triangle PTM est 1,5x et l'aire du triangle ARM est 10 2x .

La représentation graphique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, de la fonction représentant l'aire du triangle ARM en fonction de x est donnée en annexe.

Répondre aux questions suivantes, 3 et 4, en utilisant ce graphique à rendre avec la copie.

Laisser apparents les traits nécessaires.

3) a) Pour quelle valeur de x l'aire du triangle ARM est égale à 6 cm² ? b) Lorsque x est égal à 4 cm, quelle est l'aire du triangle ARM ?

4) a) Sur ce graphique donné en annexe à rendre avec la copie, tracer la droite représentant la fonction 1,5

x x.

b) Estimer graphiquement, à un millimètre près, la valeur de x pour laquelle les triangles PTM et ARM ont la même aire. Faire apparaître les traits de construction nécessaires.

c) Montrer par le calcul que la valeur exacte de x pour laquelle les deux aires sont égales, est 100 35 . T

P M

R

A 4

5 3

(4)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

>

^

aire en cm²

longueur de x en cm aire du triangle RMA

(5)

CORRIGE Activités numériques

Exercice 1 1)

7 4 5

15 15 8

7 20

15 120

56 20

120 120 36 120

9 30

3 10 A A A A A A

  

 



2) a) B3 2 98 5, 66 b)

3 2 98

3 2 49 2

3 2 7 2

4 2 B

B B B B

 

  

 

Exercice 2

1) 3x12   3 ( 2) 12  6 126 4 2 x         4 2 ( 2) 4 ( 4) 4 4 8

68 donc 2 est solution de l'inéquation 3x12 4 2x.

2) (x2)(2x   1) ( 2 2)(2 ( 2) 1)       4 ( 3) 12 donc 2 n'est pas solution de l'équation (x2)(2x 1) 0.

3) x³  8 ( 2)³    8 8 8 0 donc 2 est solution de l'équation x³ 8 0. 4) 2x3y         2 ( 2) 3 1 4 3 1

5 2 5 1 2 5 3

x y       

donc ( 2 ;1) est solution du système ² ³ ¹

5 3

x y x y

  

  



Exercice 3 1)

238 170 1 68 170 68 2 34 68 34 2 0

  

(6)

2) En simplifiant par 34, on obtient alors la forme irréductible cherchée : 170 5 2387.

Exercice 4 1) 2

3 2) 1

3 3) 1 3.

Activités géométriques

Exercice 1

1) SAO est un triangle rectangle en O (SO est la hauteur du cône).

2) SAO est un triangle rectangle en O. D'après le théorème de Pythagore :

2 2 2

OA OS AS

2 2 2

2,5 OS 6,5 6, 25OS2 42, 25

2 42, 25 6, 25

OS  

2 36

OS 

36 6

OS   cm

3)

2

3

2, 5 6 3 39, 3 V r h

V

V cm





 





S

O A

nbre2=6,5 nbre1=2,5

(7)

4) Dans le triangle SOA rectangle en O, on connaît la longueur de tous les côtés donc on peut utiliser sinus, cosinus ou tangente, par exemple :

1

sin( )

sin( ) 2, 5 6, 5

sin (2, 5 : 6, 5) 23 ASO OA

SA ASO

ASO ^



  

Exercice 2 1)

2) Dans le triangle EFG, [GF] est le côté le plus long.

2 2

7,5 56, 25

GF  

2 2 2 2

4,5 6 20, 25 36 56, 25

GE EF     

donc GF² GE²EF². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle EFG est rectangle en E.

3) Voir figure.

4) Dans le triangle EFG, M est le milieu de [EF]. La droite parallèle à [EG] passant par M coupe [GF] en N. D'après le théorème de la droite des milieux, On en déduit que N est le milieu de [GF].

Remarque : on peut aussi utiliser le théorème de Thalès pour prouver que N est le milieu de [GF].

N M

F

E G

nbre2=7,5 nbre1=4,5

(8)

Problème

1) a)

b) AM APPM  5 1 4cm donc AM AR. Par conséquent, ARM est un triangle isocèle en A.

c) ( ) ^{3 1} 1,5 ²

2 2

PT PM

Aire PTM   cm

   .

4 4 ²

( ) 8

2 2

AM AR

Aire ARM      cm .

2) a) x varie entre 0 et 5 : 0 x 5.

b) ( ) ³ 1,5

2 2

PT PM x

Aire PTM   x

  

(5 ) 4

( ) 2(5 2 ) 10 2

2 2

AM AR x

Aire ARM        x   x

3) a) L'aire du triangle ARM est égale à 6 cm² lorsque x2cm (voir graphique).

b) Lorsque x4cm, l'aire du triangle ARM est égale à 2 cm² (voir graphique).

4) a) On sait que x 1,5x est une fonction linéaire donc sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Pour x4, 1,5x6 donc la droite passe par le point de coordonnées (4 ; 6) (voir graphique).

b) Les triangles PTM et ARM ont la même aire pour x2,9cm. c)

( ) ( )

1, 5 10 2 3, 5 10

10 100 3, 5 35

Aire PTM Aire ARM

x x



 



 

donc les triangles PTM et ARM ont la même aire lorsque ¹⁰⁰ x 35 .

P M A

R T

(9)

>

^

aire en cm²

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10