Solution d'une question énoncée sur les aires des triangles rectilignes ou sphériques

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G ^USTAVE M ^ARQFOY

Solution d’une question énoncée sur les aires des triangles rectilignes ou sphériques

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 9 (1850), p. 429-430

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SOLUTION D'UNE QUESTION ÉNONCÉE SUR LES AIRES DES TRIANGLES RECT1LIGNES OU Sl'HHillll ES

( voir t. IX, p. 278) ;

PAR M. GUSTAVE MARQFOY, Institution Sainte-Barbe.

Soient a, b, c les côtés 5 A, B, C les angles 5 p le demi- périmètre} S Faire d'un triangle, soit rectiligne, soit sphérique; dans ce dernier cas S désigne l'excès sphé- rique : on a les deux théorèmes

A B C (1) P²tang- tang - tang- = S,

A B C . S a b c ( 2.) sinJ P tiiiifiç - tang - tang tang - = 2.sm - cos - cos - cos -

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( 4 3 o )

On demande comment on passe du second théorème au premier.

Démonstration. Dans la formule (2), p, a , b, c re- présentent des nombres de degrés, ou bien des longueurs d'arcs comptées dans la sphère de rayon i.

Si Ton veut introduire des longueurs d'arcs a^1? b^u etc., comptées dans une sphère de rayon R , on a la relation

s

et comme l'excès sphérique = — , en rapportant la sur- face du triangle sphérique au carré, la formule (2) est équivalente à la suivante :

. ,/>, A B C . S «, bx r,

sin2 '—- tanc - tang -tang - = 2 sin —- cos —— cos ——- cos

R b2 ° 2 b 2 R2 2 R 2 R 2 R

On peut l'écrire de la maniere suivante :

/ • Pl\ 2 • S

p ; /^{S i n}R \ A B C S^{S m}ÏR"2 a^{ b^t c

£1 _ \ t a n g - t a n g - t a n g - = : - • _ ~ ^ ^ ^ ~ ^ ~

\ R / 2R2

Si l'on suppose que le rayon devienne infini, après avoir supprimé le facteur •—, commun aux deux mem- bres , cette formule devient

A B C

p] tang - tang - tang - r S,

Observation. M. Tillol, professeur à Castres, résout la question en employant des séries (page 4o6).

Solution d'une question énoncée sur les aires des triangles rectilignes ou sphériques

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