A20014. Hors du réel
Montrer qu’un polynômeP(x) n’a pas toutes ses racines réelles :
a) s’il a deux coefficients intermédiaires consécutifs nuls (j’appelle coefficients intermédiaires ceux de degré intermédiaire entre les termes non nuls de plus haut et de plus bas degré, consécutifs ceux de termes de degrés consécutifs).
b) s’il a trois coefficients consécutifs en progression géométrique.
c) s’il a quatre coefficients consécutifs en progression arithmétique.
On rappelle le théorème de Descartes : le nombre des racines réelles positives d’un polynôme est majoré par le nombre de changements de signe dans la suite des coefficients.
Solution
Ces affirmations sont une conséquence simple du théorème de Descartes, appliqué à des polynômes Q(x) bien choisis.
Dans le cas a), pour que le polynôme ait toutes ses racines réelles, il faut que (nombre des racines>0) + (nombre des racines<0) = degré du polynôme.
D’où par Descartes (nombre des changements de signe dans les coefficients de P(x)) + (nombre des changements de signe dans les coefficients deP(−x)) = degré.
C’est possible si aucun coefficient n’est nul : d’un monômeakxk au suivant, il y a un changement de signe soit pour P(x), soit pour P(−x) ; c’est en- core possible si un coefficient nul est encadré de deux coefficients de signe contraire ; ce n’est plus possible si un coefficient nul est encadré de deux coefficients de même signe ou si deux coefficients consécutifs sont nuls.
Dans le cas b), avec une progression de raison r, le polynôme (x−r)P(x) remplit les conditions du cas a).
Dans le cas c), le polynôme (x−1)2P(x) remplit les conditions du cas a).
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