A20225. Des carrés dans l’hyperbole
Soit l’hyperbole d’équation 3x2+x = 4y2+y. Montrer que x−y est un carré parfait en tout point à coordonnées entières (x, y) de cette hyperbole.
Solution
L’équation de l’hyperbole s’écrit (8y+ 1)2= (12x+ 1)(4x+ 1).
Si x et y sont entiers avec x > 0, les facteurs du second membre 12x+ 1 et 4x+ 1, premiers entre eux, sont le produit de nombres premiers avec des exposants pairs comme dans le premier membre ; ce sont donc des carrésu2 etv2, avec uv = 8y+ 1.
Alors 16(x−y) = (12x+ 1) + (4x+ 1)−2(8y+ 1) = (u−v)2, etx−y est aussi un carré, sans qu’il soit besoin de discuter la relationu2+ 2 = 3v2. Si x était entier négatif, on obtiendrait des facteurs −12x−1 et −4x−1 qui ne peuvent être carrés car multiples de 4 diminués de 1 ; la branche d’hyperbolex <0 n’a aucun point à coordonnées entières.
Remarque. On peut exprimeru, v, x, y au moyen des polynômes de Tcheby- chevTk(2).
En effet, la relationv2(3/2)−u2(1/2) = 1 admet pour solution vp3/2±up1/2 = (p3/2±p1/2)2k−1,k entier.
2vp3/2 = (p3/2 +p1/2)2k−1+ (p3/2−p1/2)2k−1= 2T2k−1(p3/2), On en déduitTk(2) +Tk−1(2) = 3v,Tk(2)−Tk−1(2) =u, 12x=T2k−1(2)−2, 24y= (T2k−2(2)−2T2k−1(2))(−1)k−3.
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