On considère une hyperbole d'équation réduite x 2

(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Coniques 1.

^(Eco1)

On considère une parabole P d'équation y ² = px

avec p > 0 dans un repère orthonormé. Trouver la lon- gueur minimale d'une corde de P normale en une de ses extrémités.

2.

^(Eco10)

On considère une hyperbole d'équation réduite x ²

a ² − y ² b ² = 1

où x et y désignent les fonctions coordonnées dans un repère (O, ( − →

i , − →

j )) . Écrire les équations des asymptotes à l'aide des fonctions coordonnées relatives aux repères (F, ( − →

i , − →

j )) et (F ⁰ , ( − → i , − →

j )) où F et F ⁰ sont les deux foyers.

3.

^(Eco11)

Pour une hyperbole support de la courbe paramé- trée

f (θ) = F + p 1 + e cos θ

−

→ e θ

Exprimer les distances centre-sommet a , centre-foyer c et le b de l'équation réduite en fonction de p et e . 4.

^(Eco12)

Courbe orthoptique pour coniques à centre. Cercle

de Monge.

On considère une conique C d'équation réduite x ²

a ² + ε y ² b ² = 1

avec ε ∈ {−1, +1} de manière à couvrir les cas ellipse et hyperbole.

Soit M ₀ , de coordonnées (x ₀ , y ₀ ) un point quelconque du plan et − → u de coordonnées (u, v) un vecteur quelconque.

a. En admettant qu'une droite est tangente à la co- nique si et seulement si elle la coupe en deux points confondus, former une condition caractérisant que la droite M ₀ + Vect( − → u ) est tangente à C .

On écrira cette condition sous la former Au ² + Buv + Cv ² = 0

où A , B , C sont des expressions de x 0 , y 0 , a , b , ε à déterminer.

b. Lorsque par M 0 passent deux tangentes, on note p 1

et p 2 les pentes de ces droites. Exprimer le produit p 1 p 2 en fonction de A , B , C puis de x 0 , y 0 , a , b , ε . c. Déterminer l'équation de l'ensemble des points M 0

par lesquels passent deux tangentes orthogonales.

Discuter de l'existence et de la nature de cet en- semble suivant la nature et les caractéristiques de la conique.

5.

^(Eco2)

Soient a , b , c , d des réels tels que D = ad − bc 6= 0

Un repère orthonormé étant xé, pour tout réel t , on note f (t) le point de coordonnées

(a cos t + b sin t, c cos t + d sin t)

Former une équation cartésienne du support de f . En déduire qu'il s'agit d'une ellipse. Quel est le support de la courbe lorsque D = 0 ?

Pour le point de coordonnées

(a ch t + b sh t, c ch t + d sh t) quel type de conique obtient-on ?

F P

D

M(θ) H(θ)

Fig. 1 Exercice 6 : tangente à une parabole

6.

^(Eco3)

Propriétés des tangentes : parabole.

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, on se donne un réel p > 0 , un point F et une parabole P paramétrée par :

M (θ) = F + p 1 + cos θ

−

→ e θ

Déterminer des expressions simples de λ(θ) et ϕ(θ) pour que :

−→ M ⁰ (θ) = λ(θ) −−→ e ϕ(θ)

En déduire que la tangente (gure 1) est la médiatrice de F H(θ) . Comment se rééchit sur P un rayon parallèle à l'axe focal ?

7.

^(Eco4)

Propriétés des tangentes : foyer directrice.

On se donne un point F , un vecteur unitaire − → u et un réel δ . Soit f une courbe paramétrée C ¹ (I) .

a. Calculer la dérivée en t ∈ I de la fonction t → k −−−→

F f (t)k ( −−−→

F f (t)/ − → u ) − δ

b. On suppose que f est une paramétrisation d'une conique d'excentricité e , de foyer F , d'axe focal F + Vect( − → u ) la directrice passe par le point F + δ − → u . On note :

écart angulaire entre − → u et −−→

f ⁰ (t) : ϕ écart angulaire entre −−−→

F f(t) et −−→

f ⁰ (t) : ψ Montrer que

| cos ψ| = e| cos ϕ|

Former des relations sans valeur absolue pour les divers cas possibles. Que retrouve-t-on dans le cas de la parabole.

8.

^(Eco5)

Propriétés des tangentes : dénition bifocale.

Soit F et F ⁰ deux points distincts et t → f (t) une courbe paramétrée C ¹ dont le support est une conique C de foyers F et F ⁰ . En calculant les dérivées de

t → k −−−→

F f(t)k t → k −−−−→

F ⁰ f (t)

montrer que la tangente en f (t) à C est une bissectrice (à préciser selon les cas) des droites (F f(t)) , (F ⁰ f (t)) .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai _fex_copdf du 28 février 2020

(2)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Coniques

F

⁰

F

K

M

Fig. 2 Exercice 9 : cas a < c K

M F F ⁰

Fig. 3 Exercice 9 : cas c < a 9.

^(Eco6)

Cercle directeur.

On se donne deux points F et F ⁰ avec F F ⁰ = 2c (avec c > 0 ), le cercle C est centré en F et de rayon 2a ( a > 0 ).

À tout point K de C , on associe le point d'intersection M (lorsqu'il existe) de la médiatrice de [F ⁰ , K ] avec la droite (KF ) . On devra considérer les deux cas de gure 2 et 3.

a. Préciser le cas dans lequel la médiatrice de [F, K ] et la droite (KF ⁰ ) ne se coupent pas.

b. Montrer que lorsque K décrit C , le point M décrit une conique à préciser. On dit que C est le cercle directeur de la conique.

c. On paramètre le cercle directeur par θ → K(θ) = F + 2a − → e θ

et on note M (θ) le point correspondant. Calculer M (θ) et −→

M ⁰ (θ) . En déduire que la médiatrice de [F ⁰ K] est la tangente en M à la conique.

d. Quelle est la courbe formée par les projetés ortho- gonaux de F ⁰ sur les tangentes à la conique (po- daire) ?

10.

^(Eco7)

Une droite coupe une conique en deux points M 1 et M 3 et sa directrice en P . En utilisant la représentation polaire

M (θ) = F + p 1 + e cos θ

−

→ e θ

montrer que la droite (F P ) est une bissectrice des droites (F M 1 ) et (F M 2 ) .

11.

^(Eco8)

Soit C θ la conique d'équation

x ² sin ² θ − xy sin 2θ + y ² (1 + cos ² θ) = a ² sin ² θ

où x et y désignent les fonctions coordonnées dans un repère orthonormé et θ 6≡ 0 mod π .

a. Quel est le genre de C ?

b. On considère un nouveau repère dans lequel les fonctions coordonnées X et Y vérient

( x = cos ϕX + sin ϕY y = − sin ϕX + cos ϕX

Déterminer les ϕ pour lesquels le coecient de XY dans l'équation de C θ exprimée à l'aide de X et Y est nul.

c. On suppose ici 0 < θ < ^π ₂ . Exprimer l'équation de C θ avec les X et Y obtenus pour ϕ = − ^θ ₂ . Montrer qu'il s'agit d'une équation réduite et calculer les foyers de la conique.

12.

^(Eco9)

Soit H une hyperbole d'équation réduite x ²

a ² − y ² b ² = 1

Calculer la distance d'un foyer à une asymptote.

2

(3)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Coniques : corrigés

1. pas de correction pour Eco1.tex

2.

^(Eco10)

Comme e = ^c _a et que X = x ± c , on trouve X

a ± Y

b ± e = 1

Il y a quatre possibilités car deux assymptotes et deux foyers.

3. Les sommets sont obtenus pour les valeurs 0 et π du paramètre. Ils ont pour abscisse (origine à un foyer)

p 1 + e

p e − 1

Le centre est au milieu des deux. On en déduit c = p

2 1

e + 1 + 1 e − 1

= pe e ² − 1

Pour une hyperbole, le sommet S le plus proche de F est entre F et le centre C . On en déduit F S + a = c . On a F S = _1+e ^p pour le sommet S le plus proche de F . On en déduit

a = c − F S = p 2

− 1

e + 1 + 1 e − 1

= p

e ² − 1

⇒ b = p

c ² − a ² = p

√ e ² − 1 4. pas de correction pour Eco12.tex

5. pas de correction pour Eco2.tex 6. pas de correction pour Eco3.tex 7. pas de correction pour Eco4.tex 8. pas de correction pour Eco5.tex 9. pas de correction pour Eco6.tex 10. pas de correction pour Eco7.tex 11. pas de correction pour Eco8.tex

12. Par symétries les distances entre les foyers et les asymp- totes sont égales pour tous le foyers et toutes les asymp- totes. Prenons l'asymptote d'équation

On considère une hyperbole d'équation réduite x 2

Lycée Hoche MPSI B Feuille Coniques 1.

On considère une parabole P d'équation y 2 = px

avec p > 0 dans un repère orthonormé. Trouver la lon- gueur minimale d'une corde de P normale en une de ses extrémités.

2.

On considère une hyperbole d'équation réduite x 2

a 2 − y 2 b 2 = 1

où x et y désignent les fonctions coordonnées dans un repère (O, ( − →

i , − →

j )) . Écrire les équations des asymptotes à l'aide des fonctions coordonnées relatives aux repères (F, ( − →

i , − →

j )) et (F 0 , ( − → i , − →

j )) où F et F 0 sont les deux foyers.

3.

Pour une hyperbole support de la courbe paramé- trée

f (θ) = F + p 1 + e cos θ

−

→ e θ

Exprimer les distances centre-sommet a , centre-foyer c et le b de l'équation réduite en fonction de p et e . 4.

Courbe orthoptique pour coniques à centre. Cercle

de Monge.

On considère une conique C d'équation réduite x 2

a 2 + ε y 2 b 2 = 1

avec ε ∈ {−1, +1} de manière à couvrir les cas ellipse et hyperbole.

Soit M 0 , de coordonnées (x 0 , y 0 ) un point quelconque du plan et − → u de coordonnées (u, v) un vecteur quelconque.

a. En admettant qu'une droite est tangente à la co- nique si et seulement si elle la coupe en deux points confondus, former une condition caractérisant que la droite M 0 + Vect( − → u ) est tangente à C .

On écrira cette condition sous la former Au 2 + Buv + Cv 2 = 0

où A , B , C sont des expressions de x 0 , y 0 , a , b , ε à déterminer.

b. Lorsque par M 0 passent deux tangentes, on note p 1

et p 2 les pentes de ces droites. Exprimer le produit p 1 p 2 en fonction de A , B , C puis de x 0 , y 0 , a , b , ε . c. Déterminer l'équation de l'ensemble des points M 0

par lesquels passent deux tangentes orthogonales.

Discuter de l'existence et de la nature de cet en- semble suivant la nature et les caractéristiques de la conique.

5.

Soient a , b , c , d des réels tels que D = ad − bc 6= 0

Un repère orthonormé étant xé, pour tout réel t , on note f (t) le point de coordonnées

(a cos t + b sin t, c cos t + d sin t)

Former une équation cartésienne du support de f . En déduire qu'il s'agit d'une ellipse. Quel est le support de la courbe lorsque D = 0 ?

Pour le point de coordonnées

(a ch t + b sh t, c ch t + d sh t) quel type de conique obtient-on ?

Fig. 1 Exercice 6 : tangente à une parabole

6.

Propriétés des tangentes : parabole.

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, on se donne un réel p > 0 , un point F et une parabole P paramétrée par :

M (θ) = F + p 1 + cos θ

−

→ e θ

Déterminer des expressions simples de λ(θ) et ϕ(θ) pour que :

−→ M 0 (θ) = λ(θ) −−→ e ϕ(θ)

En déduire que la tangente (gure 1) est la médiatrice de F H(θ) . Comment se rééchit sur P un rayon parallèle à l'axe focal ?

7.

Propriétés des tangentes : foyer directrice.

On se donne un point F , un vecteur unitaire − → u et un réel δ . Soit f une courbe paramétrée C 1 (I) .

a. Calculer la dérivée en t ∈ I de la fonction t → k −−−→

F f (t)k ( −−−→

F f (t)/ − → u ) − δ

b. On suppose que f est une paramétrisation d'une conique d'excentricité e , de foyer F , d'axe focal F + Vect( − → u ) la directrice passe par le point F + δ − → u . On note :

écart angulaire entre − → u et −−→

f 0 (t) : ϕ écart angulaire entre −−−→

F f(t) et −−→

f 0 (t) : ψ Montrer que

| cos ψ| = e| cos ϕ|

Former des relations sans valeur absolue pour les divers cas possibles. Que retrouve-t-on dans le cas de la parabole.

8.

Propriétés des tangentes : dénition bifocale.

Soit F et F 0 deux points distincts et t → f (t) une courbe paramétrée C 1 dont le support est une conique C de foyers F et F 0 . En calculant les dérivées de

t → k −−−→

F f(t)k t → k −−−−→

F 0 f (t)

montrer que la tangente en f (t) à C est une bissectrice (à préciser selon les cas) des droites (F f(t)) , (F 0 f (t)) .

1

Lycée Hoche MPSI B Feuille Coniques

F

F

K

M

Fig. 2 Exercice 9 : cas a < c K

M F F 0

Fig. 3 Exercice 9 : cas c < a 9.

Cercle directeur.

On se donne deux points F et F 0 avec F F 0 = 2c (avec c > 0 ), le cercle C est centré en F et de rayon 2a ( a > 0 ).

On considère une parabole P d'équation y ² = px

On considère une hyperbole d'équation réduite x ²

a ² − y ² b ² = 1

j )) et (F ⁰ , ( − → i , − →

j )) où F et F ⁰ sont les deux foyers.

On considère une conique C d'équation réduite x ²

a ² + ε y ² b ² = 1

Soit M ₀ , de coordonnées (x ₀ , y ₀ ) un point quelconque du plan et − → u de coordonnées (u, v) un vecteur quelconque.

a. En admettant qu'une droite est tangente à la co- nique si et seulement si elle la coupe en deux points confondus, former une condition caractérisant que la droite M ₀ + Vect( − → u ) est tangente à C .

On écrira cette condition sous la former Au ² + Buv + Cv ² = 0

−→ M ⁰ (θ) = λ(θ) −−→ e ϕ(θ)

On se donne un point F , un vecteur unitaire − → u et un réel δ . Soit f une courbe paramétrée C ¹ (I) .

f ⁰ (t) : ϕ écart angulaire entre −−−→

f ⁰ (t) : ψ Montrer que

Soit F et F ⁰ deux points distincts et t → f (t) une courbe paramétrée C ¹ dont le support est une conique C de foyers F et F ⁰ . En calculant les dérivées de

F ⁰ f (t)

montrer que la tangente en f (t) à C est une bissectrice (à préciser selon les cas) des droites (F f(t)) , (F ⁰ f (t)) .

M F F ⁰

On se donne deux points F et F ⁰ avec F F ⁰ = 2c (avec c > 0 ), le cercle C est centré en F et de rayon 2a ( a > 0 ).

À tout point K de C , on associe le point d'intersection M (lorsqu'il existe) de la médiatrice de [F ⁰ , K ] avec la droite (KF ) . On devra considérer les deux cas de gure 2 et 3.

a. Préciser le cas dans lequel la médiatrice de [F, K ] et la droite (KF ⁰ ) ne se coupent pas.

M ⁰ (θ) . En déduire que la médiatrice de [F ⁰ K] est la tangente en M à la conique.

d. Quelle est la courbe formée par les projetés ortho- gonaux de F ⁰ sur les tangentes à la conique (po- daire) ?

x ² sin ² θ − xy sin 2θ + y ² (1 + cos ² θ) = a ² sin ² θ

c. On suppose ici 0 < θ < ^π ₂ . Exprimer l'équation de C θ avec les X et Y obtenus pour ϕ = − ^θ ₂ . Montrer qu'il s'agit d'une équation réduite et calculer les foyers de la conique.

Soit H une hyperbole d'équation réduite x ²

a ² − y ² b ² = 1

Comme e = ^c _a et que X = x ± c , on trouve X

= pe e ² − 1

Pour une hyperbole, le sommet S le plus proche de F est entre F et le centre C . On en déduit F S + a = c . On a F S = _1+e ^p pour le sommet S le plus proche de F . On en déduit

e ² − 1

c ² − a ² = p

√ e ² − 1 4. pas de correction pour Eco12.tex

est | _a ^c |

+ _b ¹

a ² + b ² = b car c ² = a ² + b ² .