Master 2 EADM 2013-2014 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 5 Th` eme : Fonctions, comportement asymptotique
L’exercice propos´e au candidat On consid`ere, pour tout k r´eel stricte- ment positif, la fonction fk d´efinie sur R par
fk(x) = x +1 − k ex 1 + k ex.
1. Justifier que pour tout r´eel k positif ou bul, la fonction fk est solution de l’´equation diff´erentielle :
(E) : 2y0= (y − x)2+ 1.
2. En d´eduire le sens de variation de fk.
3. On note Ck la courbe repr´esentative de la fonction fk dans un rep`ere orthonormal. Ci-dessous, on a repr´esent´e la droite D d’´equation y = x − 1, la droite D0 d’´equation y = x + 1 et plusieurs courbes Ckcorrespondant `a des valeurs particuli`eres de k. D´eterminer le r´eel k associ´e `a la courbe C passant par l’origine, puis celui associ´e `a la courbe C0 passant par le point A de coordonn´ees (1; 1).
4. D´eterminer les asymptotes ´eventuelles `a Ck et leurs positions relatives.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Indiquer les classes dans lesquelles on peut proposer cet exercice ainsi que les savoirs et m´ethodes mis en jeu dans sa r´esolution. Quelles sont les diff´erentes m´ethodes `a la port´ee d’un lyc´een pour r´epondre `a la derni`ere question ?
2. Composer un ´enonc´e rempla¸cant la question 1, ne d´evoilant pas les fonc- tions fk et amenant par ´etapes `a la r´esolution de l’´equation diff´erentielle (E).
3. Donner un exemple d’´enonc´e plus d´etaill´e de la question 3 permettant de mieux guider les ´el`eves.
4. Proposer plusieurs exercices portant sur diff´erents aspects de l’´etude du comportement asymptotique des fonctions.
