Chapitre 5 : Comportement asymptotique (limites) 1èreES Introduction: Soit

Chapitre 5 : Comportement asymptotique (limites) 1èreES

Introduction:

Soit f x =x

– 4 x20 ^et g  x= x

^.

Avec la calculatrice, créer deux tableaux de valeurs des fonctions f et g pour des grandes valeurs de

x (par exemple, 10, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 10

⁾

Comparer les valeurs obtenues pour f  x  et g  x : on dit que x

4 x 20 se comporte comme x

^quand x tend vers ∞ .

Recommencer avec f x =9 – 5

x ^et g  x=9 . Comparer f  x  et g  x lorsque x prend des grandes valeurs.

Par des raisonnements intuitifs analogues, avec l'aide de la calculatrice, lorsque x prend des grandes valeurs positives, indiquer si f  x  prend des grandes valeurs positives ou négatives, si f x  est très proche de 0 ou très proche d'un nombre:

f  x = – x

x 3 ^; f  x = x –  ^{x ; f  x = 4 x}

x

1 ^; f  x = 2 x3

x – 1 ^; f  x =2 x 1 4 x ^; f  x =4 – 2 x1

x

4

Début d'explication ...  Approche graphique

Pour chaque fonction représentée ci-dessous, dresser son tableau de variations et compléter en indiquant les limites aux bornes de l'ensemble de définition.

D

=] – ∞ ;2 [ ∪]2 ;∞[

D

=[ – 3 ; 3[∪]3;∞[

D

= \{ ℝ – 4 ; 4 }

Notation 

2010©My Maths Space Page 1/4

Chapitre 5 : Comportement asymptotique (limites) 1èreES

1. Limites de fonctions usuelles

Fonction ∞ – ∞

Carrée Cube Racine carrée

Fonction – ∞ ∞ x  0 , x 0 x 0 x 0

Inverse

Inverse carrée

x  0 , x 0 se lit « x tend vers 0 par valeurs supérieures » Interprétations graphiques des limites

2010©My Maths Space Page 2/4

Chapitre 5 : Comportement asymptotique (limites) 1èreES

2. Opérations sur les limites.

Dans ce paragraphe, désigne un nombre ou  ∞ ou – ∞ , et L et L ' sont des nombres.

Somme de fonctions

Si lim

x

f  x = L L L ∞ – ∞ ∞

Si lim

x

g  x  = L ' ∞ – ∞ ∞ – ∞ – ∞

Si lim

x 

f  x g  x  = Remarque

Remarque influence de la multiplication par un réel sur la limite d'une fonction. Soit  k un réel non nul.

Si lim

x 

f  x= L _alors lim

x 

kf  x =kL

Si lim

x

f  x=ou−∞ alors lim

x 

kf  x =ou−∞ . (suivant le signe de k ) Exemple

Exemple Limites de la fonction  f définie sur ] 0 ;∞[ par f  x =x 3 – 4 x ^.

Produit de deux fonctions Si lim

x 

f x = L L non nul 0 ∞ ou – ∞

Si lim

x

g  x  = L ' ∞ ou – ∞ – ∞ ou

– ∞

∞ ou – ∞

Si lim

x 

f  x× g  x 

=

Exemple Limites de la fonction  f définie sur [ 0 ;∞[ par f  x =  ^{x 3 – x  .}

Quotient de deux fonctions Si lim

x

f x = L L non nul L ∞ ou – ∞ 0 ∞ ou – ∞

Si lim

x

g  x  = L ' non nul 0 – ∞ ou – ∞ L ' 0 ∞ ou – ∞

Si lim

x 

f  x  g  x ⁼

Exemple  f  x = – x

 x3

x 2 définie sur ] – 2 ;∞ [ .

2010©My Maths Space Page 3/4

Chapitre 5 : Comportement asymptotique (limites) 1èreES

3. Droites asymptotes.

Une droite asymptote à une courbe est une droite vers laquelle la courbe "se rapproche"

lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tend vers l'infini. Plus précisément, examinons les différents cas:

Nature de l'asymptote Conditions Illustration graphique.

Asymptote verticale d'équation : x=k

Nature de l'asymptote Conditions Illustration graphique.

Asymptote horizontale d'équation :

y=b

Nature de l'asymptote Conditions Illustration graphique.

Asymptote oblique d'équation : y= axb

Remarque importante : S'il est possible d'écrire la fonction f sous la forme f  x =ax b g  x 

avec lim

x ∞

g  x=0 , alors la droite d'équation  y= axb est asymptote oblique à C

en ∞ . Exemple

Exemple  f  x = – x2 3

1 – x définie sur ] 1;∞ [ . Remarque

Remarque Si une courbe admet un asymptote oblique, son équation n'est pas toujours évidente;  seule une indication de l'énoncé permet de la déterminer.

Exemple  f  x = – 2 x

 x1

x

1 définie sur . ℝ

Montrer que la droite D d'équation y=– 2 x est asymptote oblique à C

en ∞ . Position de la courbe par rapport à son asymptote oblique ou horizontale

Position de la courbe par rapport à son asymptote oblique ou horizontale on étudie le signe de la  différence f  x  – axb ou de f  x  – b . Voir exemples traités en exercices.

2010©My Maths Space Page 4/4

3/4