1S2 : comportement asymptotique (TD 3)
I
On considère une fonctionf dont le tableau de variations est donné ci-dessous :
x −∞ −1 2 3 +∞
f′(x) + 0 − + 0 −
f(x)
−∞
5
@@
@R
−∞ −∞
3
@@
@R 1 1. Quel est l’ensemble de définition def ?
2. La courbeC représentative def admet-elle une ou plusieurs asymptotes ? Préciser.
II
Calculer les limites suivantes : a) lim
x→−∞
¡2x3−5x+1¢ b) lim
x→+∞
2x−1 2x+3 c) lim
x→1 x<1
1
x2−1et lim
x→1 x>1
µ 1 x2−1
¶
III
Donner deux fonctionsf etg, définies surR, telles que f
g soit définie surRet lim
x→+∞
f(x) g(x)=3 IV
Calculer lim
x→0
x p4+x−2
V
Soitf la fonction définie sur ]−1 ;+∞[ par :f(x)=x2+3 x+1.
1. Montrer que la courbeC représentative def admet une asymptote verticale dont on précisera l’équation.
2. Étudier les variations de la fonction, ainsi que sa limite en−∞et en+∞.
3. Calculerf(x)−(x−1) et étudier la limite de cette différence lorsquextend vers+∞. 4. Quelle interprétation géométrique peut-on faire du résultat de la question précédente ? 5. Dans un repère, tracer la droite d’équationy=x−1 et la courbeC.
VI
Soithla fonction définie parh(x)= x+1 x2+5x+6. 1. Déterminer l’ensemble de définition deh.
2. Déterminer la limite dehen−∞et en+∞. Qu’en déduit-on pour la courbeCh? 3. Déterminer la limite dehen -2. Qu’en déduit-on pour la courbeCh?
4. Déterminer la limite dehen -3. Qu’en déduit-on pour la courbeCh? 5. Dresser le tableau de variation deh.
VII
Étudier complètement la fonctionf définie par :f(x)= −3x
x2−5x+4 (on pourra montrer quef(x) peut se mettre sous la forme a
x−1+ b
x−4 oùaetbsont à déterminer).
