Chapitre 6
Limites et continuité de fonctions
Les fonctions seront toutes définies sur un intervalle I. Nous noterons F (I, R) ou RI,
l’ensemble des fonctions de I dans R. Il possède les deux structures suivantes : • (F (I, R), +, .) est un R−espace vectoriel ;
• (F (I, R), +, ×) est un anneau.
Si f : I → R, on appelle courbe représentative de f l’ensemble des points d’un plan euclidien orienté muni d’un repère orthonormé direct (O,~i,~j) défini par
(Cf) =
n
x, f (x), xparcourt Io
Commençons par introduire une notion qui nous simplifiera beaucoup les énoncés qui suivront.
Définition .1 (Voisinages)
Soit a ∈ R. Un ensemble Ω ⊂ R est un voisinage de a lorsque : • si a ∈ R, il existe ε > 0 tel que ]a − , a + [⊂ Ω,
• si a = +∞, il existe M ∈ R tel que ]M, +∞[⊂ Ω, • si a = −∞, il existe M ∈ R tel que ] − ∞, M[⊂ Ω.
On dit d’un prédicatP(x) portant sur un réel x qui appartient lui à un ensemble I ⊂ R, qu’il est vrai au voisinage de a lorsqu’il existe un voisinageV (a) de a sur lequel il l’est, i.e
∃ un voisinageV de a tel que ∀x ∈ I ∩ V , P(x) est vrai.
Exemples : f : I → R est majorée par π sur un voisinage de +∞signifie : ∃M ∈ R, ∀x ∈ I, Si x > M, alors f(x) 6 π.
Définition .2 (I)
Soit I un intervalle de R. Nous noterons I la partie de R constituée de tous les éléments de I et les bornes, éventuellement infinies, de I.
I
Définitions de Base
On rappelle que
• f : I → C est la fonction nulle ssi ∀x ∈ [a, b], f(x) = 0.
• Deux fonctions f et g définies sur I sont égales ssi pour tout x dans I, f (x) = g(x). • Soit f : I → K et Ω ⊂ I. On appelle restriction de f à Ω et on note f|Ω la fonction
x ∈ Ω 7→ f (x) ∈ K.
I.1
Relations d’ordre
Définition I.1 Soient f, g ∈ RI. On note : > |f | la fonction x ∈ I 7→ |f (x)| . > sup(f, g) la fonction x ∈ I 7→ max{f (x), g(x)} . > supIf := sup{f (x), x ∈ I}si cet ensemble est majoré,
+∞sinon. .
> infIf :=
inf{f (x), x ∈ I}si cet ensemble est minoré,
−∞ sinon. .
Définition I.2 On dit que f est
> majorée si {f (x), x ∈ I} est un ensemble majoré, i.e si supIf < +∞. > minorée si {f (x), x ∈ I} est un ensemble minoré, i.e si infIf > −∞.
> bornée lorsqu’elle est majorée et minorée, i.e lorsque |f | est majorée. Enfin si m ∈ R, – le prédicat ∀x ∈ I, f (x) 6 m se notera f 6 m, – et le prédicat ∀x ∈ I, f (x) 6 g(x) se notera f 6 g.
I.2
Les lois
Rappelons les définitions des composées de fonction à l’aide des lois sur C : Soient f, g : I → K. On définit :
• la somme de f et g :
(f + g) : x ∈ I 7→ f (x) + g(x) ∈ K. • le produit de f et g :
(f × g) : x ∈ I 7→ f (x) × g(x) ∈ K. • l’inverse de f , si f ne s’annule pas :
1
f : x ∈ I 7→
1
f (x) ∈ K.
Définition I.3
Soient I, J ⊂ R. Soient deux fonctions f : I → R et g : J → K. Si f(I) ⊂ J, on définit la composée de f et g comme la fonction
g ◦ f I −→ K x 7−→ gf (x)
.
A toutes fins utiles, on se souviendra que cette loi n’est pas commutuative, i.e que bien souvent, f ◦ g 6= g ◦ f .
I.3
Monotonie
Définition I.4
Soit f : I → R. f est dite
> croissante lorsque ∀x, y ∈ I, (x < y) =⇒ f (x) 6 f(y). > décroissante lorsque ∀x, y ∈ I, (x < y) =⇒ f (x) > f(y). > monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante.
> strictement croissante lorsque ∀x, y ∈ I, (x < y) =⇒ f (x) < f (y). > strictement décroissante lorsque ∀x, y ∈ I, (x < y) =⇒ f (x) > f (y).
> strictement monotone lorsqu’elle est strictement croissante ou strictement dé-croissante.
Remarque :
B Si f et g sont définies sur I à valeurs réelles et toute deux croissantes, alors leur somme est croissante, et il suffit que l’une d’entre elles le soit strictement pour que f + g le soit strictement aussi.
B Si f, g : I → R sont positives et croissantes, alors f × g est croissante.
B Soit f ∈ RI et g ∈ RJ où g(J) ⊂ I (condition nécessaire et suffisante pour que f ◦ g existe), alors f ◦ g est
croissante si f et g sont toutes les deux décroissantes ou toutes les deux croissantes, et f ◦ g est décroissante si l’une d’entre elles est croissante et l’autre décroissante.
Proposition I.5
Une fonction strictement monotone est injective.
Démonstration : Quite à considérer −f , nous pouvons supposer que f est strictement
crois-sante. Soient f : I → R et x, y ∈ I deux réels distincts. Si x < y, alors f(x) < f(y) et donc f (x) 6= f (y). Puisque x et y sont deux variables muettes qui jouent un rôle symétrique dans l’énoncé, nous avons en fait traité tous les cas.
I.4
Parité et pérodicité
Un ensemble Ω ⊂ R est dit symétrique lorsque ∀x ∈ Ω, −x ∈ Ω. Définition I.6
Soit I un intervalle symétrique. Une fonction f : I → C est dite paire si ∀x ∈ I, f(x) =
f (−x)etimpaire si ∀x ∈ I, f (−x) = −f (x). Définition I.7
Une fonction est dite périodique s’il existe T ∈ R∗ tel que f est T −périodique.
Remarque :
B Toute fonction impaire s’annule en x = 0.
B Toute fonction de R dans C est la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire : ∀x ∈ I, f (x) = f (x) + f (−x)
2 +
f (x) − f (−x)
2 ♥
On remarque en effet que x 7→ f (x)+f (−x)2 est paire alors que x 7→ f (x)−f (−x)2 est impaire.
On les appelle respectivement composantes paires et impaires de f . Tiens, quelles sont-elles pour f : x ∈ R 7→ exp(ix) ∈ C ?
B x 7→ x − E(x) est 1−périodique, et x 7→ cos (ωx) est 2πω −périodique. B Si T est une période de f , alors nT en est aussi une pour tout n ∈ Z.
B Il existe des fonctions non constantes qui admettent pour période tout T ∈ Q (cf TD). B Une somme de deux fonctions périodiques n’est pas forcément périodique (cf TD).
I.5
Fonctions Lipschitziennes
Soit f : I → R et x 6= y ∈ I.On appelletaux d’accroissement de f entre x et y le réel Tx(y) =
f (y) − f (x) y − x .
Remarque :
– Le taux d’accroissement est symétrique, i.e Tx(y) = Ty(x).
– Géométriquement, c’est la pente du segment qui relie les deux points de (Cf)d’abscisses x et y.
– Ainsi, on peut lire certaines informations essentielles sur f en regardant l’ensemble de ses taux d’accroisse-ment Ω = f (y) − f (x) y − x , où x, y ∈ I, x 6= y .Par exemple, 1. f est injective ⇔ 0 /∈ Ω, 2. f est croissante ⇔ Ω ⊂ [0, +∞[.
3. f est strictement décroissante ⇔ Ω ⊂] − ∞, 0[.
Voici une première classe de fonctions qui présentent des régularités ( ce qui signife que ces fonctions ne varient pas trop vite) : celles dont les taux d’accroissements sont bornés. Définition I.8
Soit k > 0. Soit f ∈F (I, R). f est dite k−Lipschitzienne lorsque ∀x, y ∈ I, f (x) − f (y) 6 k x − y .
Exemples :
1. La fonction sin est 1−Lipschitzienne sur R.
Démonstration : Pour tous x, y ∈ R,
| sin x − sin y| = 2 cosx + y 2 sin x − y 2 6 2 sinx − y 2
pour une raison que je ne vous ferai pas l’affront de rappeler. Utilisons l’inégalité, que je vous incite à prouver ∀a ∈ R, | sin a| 6 |a| : | sin x − sin y| 6 2 x − y 2 = |x − y| .
2. La fonction g : x ∈ R+ 7→ x2 n’est pas Lipschitzienne. En revanche, sa restriction à [0, 1] est
2−Lipschitzienne. Démonstration : ∀x 6= 0, T0(x) = g(x) − g(0) x − 0
= |x|qui n’est pas majorée sur R.
3. La fonction h : x ∈ [0, 1] 7→√xn’est pas Lipschitzienne.
Démonstration : ∀x ∈]0, 1], T0(x) = h(x) − h(0) x − 0 = √1
x qui n’est pas majorée sur ]0, 1].
II
Limites et Continuité
II.1
Définitions de limites
Elles ont été formalisées par Bolzano(1817) et Weierstrass(1874) Définition II.1 (limites finies)
Soit f : I → K. Soit a ∈ I, et b ∈ R.
• Si a ∈ R, on dira que f(x) −−→x→a blorsque
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I,|x − a| < α ⇒ |f (x) − b| < ε • On dira que f (x) −−−−→ x→+∞ b lorsque ∀ε > 0, ∃M ∈ R, ∀x ∈ I,x > M ⇒ |f (x) − b| < ε. • On dira que f (x) −−−−→ x→−∞ b lorsque ∀ε > 0, ∃M ∈ R, ∀x ∈ I,x 6 M ⇒ |f (x) − b| < ε.
Définition II.2 (Limite +∞) Soit f : I → R. Soit a ∈ I.
• Si a ∈ R, on dira que f(x) −−→x→a +∞lorsque
• On dira que f (x) −−−−→ x→+∞ +∞lorsque ∀A ∈ R, ∃M ∈ R, ∀x ∈ I,x > M ⇒ f (x) > A. • On dira que f (x) −−−−→ x→−∞ +∞lorsque ∀A ∈ R, ∃M ∈ R, ∀x ∈ I,x 6 M ⇒ f (x) > A.
Définition II.3 (Limite −∞) Soit f : I → R. Soit a ∈ I.
• Si a ∈ R, on dira que f(x) −−→x→a −∞ lorsque
∀A ∈ R, ∃α > 0, ∀x ∈ I,|x − a| < α ⇒ f (x) 6 A • On dira que f (x) −−−−→ x→+∞ −∞ lorsque ∀A ∈ R, ∃M ∈ R, ∀x ∈ I,x > M ⇒ f (x) 6 A. • On dira que f (x) −−−−→ x→−∞ −∞ lorsque ∀A ∈ R, ∃M ∈ R, ∀x ∈ I,x 6 M ⇒ f (x) 6 A.
Ce qui ne fait pas moins de 9 définitions de limites, que l’on peut condenser en une seule :
Définition II.4
Soit f : I → R, a ∈ I et b ∈ R. On dira que f(x) −−→x→a b lorsque pour tout voisinage B de
b, il existe une voisinage A de a tel que ∀x ∈ I,x ∈ A =⇒ f (x) ∈ B. Proposition II.5 (Unicité de la limite)
Soit f : I → K. Soit a ∈ I, et b, c ∈ R. Si f (x) −−→
x→a bet f (x) −−→x→a c, alors b = c.
Ce qui nous permet à nouveau de parler de LA limite de f en a, dés lors que nous avons prouvé son existence, et de noter indifféremment
f (x) −−→
x→a b ⇐⇒ f −→a b ⇐⇒ limx→af (x) = b ⇐⇒ lima f = b
II.2
Limites et continuité à droite et à gauche
Définition II.6 (Limites à gauche et à droite) Soit f : I → K, a ∈ I et ` ∈ ¯R. On dira que
• On dira que f (x) −−−→
restriction à droite f|I∩]a,+∞[ admet ` pour limite en a. Nous noterons alors lima+f cette limite.
• On dira que f (x) −−−→
x→a− `, ou que f admet ` pour limite à gauche de a lorsque sa restriction à gauche f|I∩]−∞,a[admet ` pour limite en a. Nous noterons alors lima−f cette limite.
Evidemment, si f admet une limite en a, elle admet une limite à gauche et une limite à droite ( si ceci a un sens), et ces trois limites coincident.
II.3
Continuité
Remarque : Soit a ∈ I et f : I → K. Remarquons que si f admet une limite b en a, alors cette limite est finie et vaut f (a). En effet, pour tout ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I, |x − a| 6 α ⇒ |f(x) − b| 6 ε. Mais x = a vérifie les deux propriétés x ∈ I et |x − a| 6 α. Donc |f(a) − b| 6 ε et ce pour tout ε > 0. Ainsi, b = f(a).
Définition II.7 (Continuité en un point)
Soit f : I → K et a ∈ I. On dit que f est continue en a (que l’on note C0) lorsqu’elle admet une limite finie en a.
Cette définition s’écrit à l’aide des limites à gauche et à droite ainsi :
f estC0 en a ⇐⇒ lim
a+ f et lima− f existent et sont égales à f (a). Définition II.8 (Continuité à gauche et à droite)
Soit f : I → K et a ∈ I.
• On dit que f estcontinue à droite de a lorsque f|I∩[a,+∞[ est continue en a. • On dit que f estcontinue à gauche de a lorsque f|I∩]−∞,a] est continue en a.
f est continue en a ssi elle est continue à droite et à gauche de a.
II.4
Caractérisation séquentielle des limites
Il faut comprendre le théorème suivant comme l’analogue fonctionnel du théorème qui affirme qu’une suite tend vers une limite ` ∈ R ssi toutes ses suites extraites tendent vers `. Théorème II.9 Soit f : I → R, a ∈ I et ` ∈ ¯R. Alors, f (x) −−→ x→a ` ⇐⇒ ∀(un)n∈N∈ I N,lim u n= a ⇒ lim f (un) = b .
En particulier, il nous permettra de prouver qu’une fonction n’admet pas delimite en a. Par exemple, la fonction sin n’admet pas de limite en +∞ car les deux suites (un)n∈N =
(nπ)n∈N et (vn)n∈N= (2nπ + π
2)n∈N tendent vers +∞ mais leurs suites images
f (nπ)n∈N
et
f (2nπ + π/2)n∈Nconvergent vers deux limites distinctes.
Nous en déduisons une caractérisation séquentielle de la continuité : Proposition II.10
1. Si (un)n∈N est une suite d’éléments de I qui converge vers cinI, et si f est continue
en c, alors f (un) −−−−→ n→+∞ c.
2. Si f est une fonction continue sur I, alors pour toute suite convergente (un)n∈N
d’éléments de I dont la limite est dans c, on a lim
n→+∞f (un) = f
lim
n→+∞un
III
Régles de calcul
f, g, ...sont des fonctions définies sur un même intervalle I de R. Dans tout ce qui suit, asera un élément de ¯R appartenant à I ou bien une de ses bornes.
III.1
Comparaisons
Proposition III.1
Soit ` ∈ ¯R. On suppose f (x) −−→
x→a `.
1. Pour tout m < `, il existe un voisinage de a sur lequel f > m. 2. Pour tout M > `, il existe un voisinage de a sur lequel f 6 M. Corollaire III.2
Si f possède une limite finie en a, alors f est bornée au voisinage de a.
Théorème III.3 (Passage à la limite des inégalités larges)
Soient f et g deux fonctions qui admettent en a des limites respectives ` et m dans ¯
R. Si f 6 g au voisinage de a, alors ` 6 m. Théorème III.4 (dit d’encadrement)
Soient f, g, h : I → R et ` ∈ R. Si f (x) −−→ x→a ` h(x) −−→ x→a `
et f 6 g 6 h au voisinage de a, alors g(x) −−→x→a `.
Proposition III.5
1. Soient f, g telles que f (x) −−→
x→a +∞et f 6 g au voisinage de a. Alors g(x) −−→x→a
+∞.
2. Soient f, g telles que f (x) −−→
x→a −∞ et f > g au voisinage de a. Alors g(x) −−→x→a
−∞.
III.2
Opérations
1. Soient m, ` ∈ R. Si f (x) −−→ x→a ` h(x) −−→ x→a m alors f (x) + g(x) −−→ x→a ` + m. 2. Si (
f (x)est minorée au voisinage de a
h(x) −−→ x→a +∞
alors f (x) + g(x) −−→
x→a +∞.
Proposition III.7 (Limite d’un produit) 1. Si f (x) −−→
x→a 0et si g est bornée au voisinage de a, alors f (x)g(x) −−→x→a 0.
2. Soient `, m ∈ R. Si f (x) −−→ x→a ` h(x) −−→ x→a m , alors f (x)g(x) −−→ x→a `m. 3. Si f (x) −−→
x→a +∞et si g est minorée au voisinage de a par une constante strictement
positive, alors f (x)g(x) −−→
x→a +∞.
Proposition III.8 (Limite d’une inverse) 1. Si f (x) −−→ x→a `, où ` ∈ R ∗, alors 1 f (x) −−→x→a 1 `. 2. Si f (x) −−→ x→a ±∞, alors 1 f (x) −−→x→a 0. 3. Si f (x) −−→
x→a 0et si f > 0 au voisinage de a, alors
1
f (x) −−→x→a +∞. Proposition III.9 (Opérations et continuité)
Soient f, g : I → K deux fonctions continues en a. Alors les fonctions f + g, λf, (pour tout λ ∈ K), fg et si g(a) 6= 0, 1
g, f
g le sont aussi.
III.3
Composition
Dans ce paragraphe, J désigne un autre intervalle non trivial de R. Théorème III.10 (Composition des limites)
Soient f ∈ F (I, R) et g ∈ F (J, R). On suppose que f(I) ⊂ J, de sorte que la composition g ◦ f ait un sens.
Soient a ∈ ¯I, b ∈ ¯J et ` ∈ ¯R. Si f (x) −−→ x→a b g(x) −−→ x→b ` alors g ◦ f (x) −−→ x→a `. Corollaire III.11 (Continuité d’un composée)
On reprend les hypothèses et les notations du théorème III.10, et on suppose que a ∈ I. Alors si f est continue en a et si g est continue en f (a), alors g ◦ f est continue en a. Ces théorèmes permettent d’obtenir la continuité de larges classes de fonctions sans trop d’efforts. Donnons quelques exemples :
Exemples :
1. Tous les polynomes sont des fonctions continues sur R.
2. Toute fraction rationnelle est continue en tout x0réel qui n’annule pas son dénominateur.