Chapitre : Les limites d une fonction

Chapitre : Les limites d’une fonction

Table des matières

I Limites d’une fonction en l’infini . . . 3

I.1 Définitions . . . 3

I.2 Limites des fonctions de référence en l’infini . . . 4

II Limites d’une fonction en un réel . . . 4

II.1 Limite finie en un réel . . . 4

II.2 Limite infinie en un réel . . . 6

II.3 Limite à gauche, limite à droite . . . 6

II.4 Limites de référence . . . 7

III Limite et composition . . . 8

III.1 Limite de g◦f . . . 8

III.2 Limite d’une suite (f(u_n)) . . . 8

IV Opérations sur les limites . . . 8

IV.1 Les théorèmes . . . 8

IV.2 Croissances comparées . . . 9

IV.3 Méthodes . . . 9

V Propriétés des limites et inégalités . . . 9

V.1 Voisinage . . . 9

V.2 Inégalités . . . 10

V.3 Étude asymptotique d’une courbe . . . 12

Comme nous l’avons fait pour les suites, nous allons définir la notion de limites pour une fonction. Pour ces dernières, nous allons étudier ce qui se passe pour les valeurs def(x) lorsquextend vers +∞mais également en−∞et en tout nombre deD_f.

Vous retrouverez ci-dessous la liste des éléments à maitriser. Pour cela, il faudra savoir refaire les exemples et applications du cours, ainsi que les exercices de la feuille de TD.

r Connaître les définitions des limites en±∞et en un réela, notamment la notion de limite à gauche et limite à droite

r Connaître les limites des fonctions de référence r Savoir déterminer la limite deg◦f

r Connaître les opérations sur les limites, les méthodes qui s’y rapportent et les croissances comparées

r Connaître les théorèmes reliant limites et ordre, en particulier le théorème de passage à la limite dans une inégalité, le théorème de comparaison, le théorème des gendarmes et le théorème de la limite monotone

r Savoir déterminer l’asymptote à une courbe et leur position relative Objectifs

I Limites d’une fonction en l’infini

I.1 Définitions

L’inégalité|f(x)−`|<

équivaut à dire quef(x)∈ ]`−, `+[.

-Pour info Soitf une fonction définie sur un ensemble contenant un intervalle de la forme ]a,+∞[.

• Soit`∈R. On dit quef a pour limite` en +∞si

∀ >0 ∃B >0 ∀x∈D_f x > B =⇒ |f(x)−`|<

On note alors lim

x→+∞f(x) =`ou lim

+∞f=`.

x y

B

`

`+

`+

• On dit quef a pour limite +∞en +∞si

∀A >0 ∃B >0 ∀x∈D_f x > B =⇒ f(x)> A On note alors lim

x→+∞f(x) = +∞.

x y

B A

Définition

On définirait de la même manière la limite en−∞

pour des fonctions définies sur les intervalles du type ]− ∞, a[.

-Pour info

I.2 Limites des fonctions de référence en l’infini

On a les limites suivantes pour les fonctions de référence :

• lim

x→+∞ln(x) =. . .

• lim

x→−∞e^x=. . .et lim

x→+∞e^x=. . .

• lim

x→+∞

1

x=. . .et lim

x→−∞

1 x=. . .

• lim

x→+∞

√x=. . .

• lim

x→+∞|x|= lim

x→−∞|x|=. . .

• Soitn∈N^∗. lim

x→+∞xⁿ=. . . Si nest pair, lim

x→−∞xⁿ=. . .sinon lim

x→−∞xⁿ=. . .

• Un polynôme a la même limite en ±∞que son terme dominant

• Soitα∈R^∗. lim

x→+∞x^α=. . .siα >0 et lim

x→+∞x^α=. . .siα <0 Propriété

II Limites d’une fonction en un réel

II.1 Limite finie en un réel

Soitf une fonction.

Soitx₀ un élément réel deD_f ou une extrémité deD_f, et soit`∈R. On dit quef a pour limite`enx₀ si

∀ >0, ∃δ >0, ∀x∈D_f, |x−x₀|< δ =⇒ |f(x)−`|<

On dit aussi quef(x) tend vers`lorsque xtend versx₀. On note alors lim

x→x0

f(x) =` ou bien lim

x₀ f =`.

x y

x₀

`

δ Définition

On peut remplacer cer- taines inégalités strictes

«<» par des inégalités larges «≤» dans la défini- tion.

-Pour info

Sif est définie enaet possède une limite en a, alors lim

x→af(x) =f(a).

Remarque

x→xlim0

√x=√

x₀ pour toutx₀≥0.

x y

1

0 1

√x

x₀

√x0

Exemple

Il peut arriver quef soit définie enasans quef n’admette une limite ena.

Prenons l’exemple ci-dessous.

x y

x₀ f(x₀)

Remarque

II.2 Limite infinie en un réel

Soitf une fonction définie sur un ensembleD_f contenant un ensemble de la forme ]a, x0[∪]x0, b[.

• On dit quef a pour limite +∞enx0 si

∀A >0 ∃δ >0 ∀x∈D_f |x−x₀|< δ =⇒ f(x)> A On note alors lim

x→x0

f(x) = +∞.

x y

A

x0−δ x0 +δ

x₀

• On dit quef a pour limite−∞enx₀ si

∀A >0 ∃δ >0 ∀x∈I |x−x₀|< δ =⇒ f(x)<−A On note alors lim

x→x0

f(x) =−∞.

Définition

II.3 Limite à gauche, limite à droite

Soitf une fonction définie sur un ensembleD_f contenant un ensemble de la forme ]a, x₀[∪]x₀, b[.

• On appelle limite à droite en x₀ de f la limite de la fonction f

D_f∩]x0,b[ en x₀ et on la note lim

x⁺₀

f.

• On définit de même la limite à gauche enx0def : c’est la limite de la fonctionf

D_f∩]a,x0[

enx₀ et on la note lim

x⁻₀

f.

• On note aussi lim

x→x0

>

f(x) pour la limite à droite et lim

x→x0

<

f(x) pour la limite à gauche.

Définition

f

^Df∩]x₀;b[ se lit "fres- treint àD_f∩]x₀;b[" et si- gnifie que l’on restreint les valeurs dexaux nombres appartenant àD_f et à ]x₀;b[

-Pour info

Dire quef :I→Radmet une limite`∈Rà droite enx₀ signifie donc :

∀ >0 ∃δ >0 x0< x < x0+δ =⇒ |f(x)−`|<

Remarque

• lim

x→0⁺

1

x=. . .et lim

x→0⁻

1 x=. . .

• lim

x→2⁺

1−x

2−x=. . .et lim

x→2⁻

1−x 2−x=. . . Exemples

• Si f n’est pas définie enx₀, la fonctionf a une limite enx₀si et seulement si ses limites à gauche et à droite enx₀ coïncident.

• Si f est définie en x₀, la fonction f a une limite en x₀ si et seulement si ses limites à gauche et à droite en x₀ coïncidentet valent f(x₀).

Propriété

De même, on peut définir la limite infinie à gauche (resp. à droite) d’une fonction en remplaçant la condition|x−x₀|< δ parx₀−δ < x < x₀ (resp. parx₀< x < x₀+δ) comme dans le cas des limites finies.

Remarque

II.4 Limites de référence

• lim

x→0⁺ln(x) =. . .

• lim

x→0⁺

1

x=. . .et lim

x→0⁻

1 x=. . .

• Si nest pair, lim

x→0

1 xⁿ =. . . Propriété

III Limite et composition

III.1 Limite de g ◦ f

Soienta,bet cdes réels ou +∞ou−∞.

Si lim

x→af(x) =b et lim

x→bg(x) =c alors lim

x→ag(f(x)) =c Propriété

Cette propriété s’utilise de manière naturelle. On veillera à l’appliquer de manière précise.

-Pour info

Soitf :]0; +∞[→R définie parf(x) = ln ¹_x . Déterminer la limite def en +∞.

Application

. . . . . . . .

Réponse

III.2 Limite d’une suite (f(u

))

Soitf une fonction et (u_n) une suite d’éléments deD_f. Si lim

n→+∞u_n=b et lim

x→bf(x) =c alors lim

n→+∞(f(u_n)) =c Propriété

IV Opérations sur les limites

IV.1 Les théorèmes

Les théorèmes sur les opérations algébriques vus pour les limites de suites sont les mêmes pour les fonctions.

Propriété

Soitf :R^∗

+→Rdéfinie parf(x) =e^x−1

x etg:R₊→Rdéfinie parg(x) =x²√ x.

Déterminer la limite def en 0 et deg en +∞.

Application

. . . . . . . . . . . . . . . .

Réponse

IV.2 Croissances comparées

Comme nous l’avons déjà vu pour les suites, certaines F.I peuvent être levées en comparant la croissance des fonctions.

Soientα >0, β >0 etq >1 . On a :

• lim

x→+∞

(ln(x)^β x^α = 0

• lim

x→+∞

x^α q^x = 0

• lim

x→0 x^αln(x) = 0 et lim

x→−∞ |x|^αe^x= 0 Propriétés

On dit que la fonction x→(ln(x))^βest négli- geable devantx→x^αqui est elle-même négligeable devantx→q^xen +∞.

-Pour info

IV.3 Méthodes

Afin de lever un F.I., on pourra penser à utiliser l’une des méthodes (plus généralement une combinaison des méthodes) suivantes :

• Factoriser par le terme dominant (i.e. celui ayant la plus forte croissance)

• Penser à la quantité conjuguée

• Pour les fonctions puissances : retour à la définition à l’aide des fonctions exp et ln

• Utiliser le théorème sur la limite d’une composée (changement de variable)

• Penser aux croissances comparées

• Utiliser la limite d’un taux d’accroissement en x₀. Ceux qu’il faut connaître par coeur sont :

x→0lim e^x−1

x = 1,lim

x→1

ln(x)

x−1 = 1 soit lim

x→0

ln(1 +x)

x = 1

• . . . Méthode

• x0 on se plaçait sur ]x0−a;x0+a[

• +∞sur ]a; +∞[

• −∞sur ]− ∞;a[

On appelle :

• voisinage dex0 toute partie pour laquelle il existea >0 tel que ]x0−a;x0+a[

• voisinage de +∞toute partie de la forme

• voisinage de−∞toute partie de la forme Définition

V.2 Inégalités

Soientuet f deux fonctions définies au voisinage dex₀ (réel ou infini), etl₁et l₂ des réels.

Sipour toutxau voisinage dex₀ et silorsquextend versx₀ alors

u(x)≤f(x) lim

x→x₀u(x) =l1 et lim

x→x₀f(x) =l2 l16l2

Propriété (Passage à la limite dans une inégalité)

L’inégalité des limites n’est jamais stricte ! Un contre-exemple est la fonction inverse. On a

∀x∈R,1

x>0 et pourtant x→+∞lim

1 x= 0.

8Attention !

Soitl un réel etx0 un réel éventuellement infini,

Sipour toutxau voisinage dex₀ et silorsquextend versx₀ alors

u(x)6f(x) lim

x→x0

u(x) = +∞ lim

x→x0

f(x) =

f(x)6u(x) lim

x→x0

u(x) =−∞ lim

x→x0

f(x) = Propriété (Théorème de comparaison)

Pour montrer qu’une fonction a pour limite +∞(resp.−∞) en x₀ (x₀ réel ou infini), on peut minorer (resp. majorer) cette fonction dans un voisinage dex₀ par une fonction qui admet pour limite +∞(resp.−∞) enx₀.

Méthode

Soitf la fonction définie surRparf(x) =x²+√

x²−x+ 1.

Déterminer lim

x→+∞f(x).

Application

. . . . . . . .

Réponse

Pourl etx₀deux réels éventuellement infinis,

Sipour toutxau voisinage dex0 et silorsquextend versx0 alors f(x)6g(x)6h(x) lim

x→x0

f(x) = l = lim

x→ah(x) lim

x→x0

g(x) = Propriété (Théorème d’encadrement/des gendarmes)

Pour montrer qu’une fonction a une limite finielenx0(x0réel ou infini), on peut encadrer cette fonction dans un voisinage dex0 par deux fonctions qui admettent UNE MÊME limitel enx0.

Méthode

Soitf la fonction définie surR⁺ parf(x) =√

x+ 2−√ x.

• Démontrer que pour tout réelx>2, f(x) = 2

√x+ 2 +√ x.

• Démontrer que pour tout réelx>2,06f(x)6 2

√x et en déduire lim

x→+∞f(x).

Application

. . . . . . . . . . . .

Réponse

Soitf une fonction définie sur un intervalleI.

Alors, sif est monotone, f admet des limites à gauche et à droite en tout point de I où cela peut avoir un sens.

En particulier, siI=]a;b[ et sif est croissante surI, alors : Propriété (Théorème de la limite monotone)

On peut énoncer ce théo- rème pour tout type d’in- tervalle, et également lorsquef est décroissante.

-Pour info

Pour montrer qu’une fonctionf admet une limitefinieen un point ou en l’infini, on peut montrer qu’elle est, selon les cas, croissante et majorée, décroissante et minorée. . .

Méthode

Soitf :R\{−1} 7→R définie parf(x) = x 1 +x. Montrer quef admet une limite finie en +∞.

Application

. . . . . . . .

Réponse

V.3 Étude asymptotique d’une courbe

Une asymptote à une courbe est une droite dont la distance à la courbe tend vers 0 lorsquex tend versa(afini ou infini selon les cas).

Définition

On distingue 3 types d’asymptotes :

Soitf une fonction définie au voisinage d’un pointa.

Sif admet une limite infinie à droite ou à gauche ena, alors la courbe def a pour asymptote verticale la droite d’équationx=a.

Propriété (Asymptote verticale en un point )

Pour montrer que la courbe d’une fonctionf (notéeC_f) admet pour asymptote verticale la droite d’équationx=a, on montre quef admet une limite infinie à droite ou à gauche ena.

Méthode

La fonction inverse admet pour asymptote verticale la droite d’équation. . . . Exemple

Soitf une fonction définie au voisinage de +∞(resp.−∞) etc∈R. Si lim

x→+∞f(x) =c (resp. lim

x→+∞f(x) =c), alors la courbe de f a pour asymptote horizontale la droite d’équationy=c en +∞(resp. en−∞).

Propriété (Asymptote horizontale en±∞)

Si lim

x→+∞(f(x)−c) = 0⁺, alors la courbe def est située au dessus de l’asymptote horizontale au voisinage de +∞(et idem en−∞). Si cette limite est 0⁻, elle est située en dessous.

Remarque (Position relative)

Pour déterminer la position relative deC_f par rapport à son asymptote, on étudie le signe de (f(x)−c) au voisinage qui nous intéresse.

Méthode

Soitf :R^∗7→Rdéfinie parf(x) =−3x+ 1

x .

Montrer queC_f admet une asymptote horizontale en +∞dont on donnera l’équation réduite.

Application

. . . . . . . . . . . .

Réponse

Soitf une fonction définie au voisinage de +∞(resp.−∞) et (a, b)∈R^∗×R. Si lim

x→+∞f(x)−(ax+b) = 0 (resp. lim

x→−∞f(x)−(ax+b) = 0), alors la courbe defa pour asymptote oblique la droite d’équationy=ax+ben +∞(resp. en−∞).

Propriété (Asymptote oblique en±∞)

Pour déterminer la position relative de C_f et de l’asymptote au voisinage de±∞, on procède ainsi :

• Si lim

x→+∞f(x)−(ax+b) = 0⁺, alors la courbe de f est située au dessus de l’asymptote oblique au voisinage de +∞(et idem en−∞).

• Si cette limite est 0⁻, elle est située en dessous.

Méthode