Master 1 EADM 2010-2011 CAPES externe
UE 8 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 6 Th` eme : Fonctions, comportement asymptotique
L’exercice propos´e au candidat On consid`ere, pour tout k r´eel stricte- ment positif, la fonction fk d´efinie sur R par
fk(x) = xk ex− 1 k ex+ 1.
1. En remarquant que ke1x = 1ke−x, montrer que fk(x) = f1/k(−x). ´Etudier la parit´e de f1.
2. Estimer graphiquement les nombres k sur les repr´esentations graphiques Ck des cinq fonctions fk suivantes :
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
3. D´eterminer les asymptotes ´eventuelles `a Ck et leurs positions relatives.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Indiquer les classes dans lesquelles on peut proposer cet exercice ainsi que les savoirs et m´ethodes mis en jeu dans sa r´esolution. Quelles sont les diff´erentes m´ethodes `a la port´ee d’un lyc´een pour r´epondre `a la derni`ere question ?
2. Proposer plusieurs exercices portant sur diff´erents aspects de l’´etude du comportement asymptotique des fonctions.
