Leçon 29 : Hyperbole

1.

Leçon 29 : Hyperbole

Définition

Soit deux points

fixes

F

, F' et o

^{le milieu}

^dr [rr'].

^{On note}

OF=OF:c.

Soit

c

un nombre réel strictement

positif.

Si

a

<c,

I'ensemble des ponts

pt _atplan

_{tels que l*tn}

_-MFl=2o

appelé hyperbole de foyers

F et F'

Eléments caractéristiques . sommets

:

^{A, A'}

. foyers

i ^F et

Fl . centrg

:

^o

. axe focal ; (AA') -

.

directrices:

D

et

^D'

2. Equation d'une

hyperbole de

centre

O(0,0) Théorème

Le plan est rapporté au repère orthonormé

e;î ,fi. L'hyperbole

de centre

o,

de

foyers

F(c,o) et

F'(-c,ol,

définie par la relatiop

lur

^-

ur'l:2a

_,admet pour équation la

relæion + 4= ^r

^âvoc

o2

^b2

ç:r[a' ,rç

^.

I l. Sections coniques ₁₂₉₈

Eléments caractéristiques

. sommets

:

^A@,4) , A'(-a,O)

.

foyers I

^F(c,o)

et

F'(-c,O)

r .centre:

^o(0,0)

. axe

focal i y=0

. directrices : D

:x=ta2

^'

c-

.

excentricité: ,=9rl

a

.asymptotes:

y

-x!"

_a

Cas

_1oy; est

I'axe focal

Théorème

Le plan _est rapporté au repère orthonorm

é (o;i ,j). L'hlperbole

de

centre

o,de foyers

F(O,c) et

F'(0,-c), définieparlarelation

lur

^-

url-

^2b

_,admet

pour équation la

relation

5. #: ^I

^{, avec}

o2 +b2

I 1. Sections coniques ₁₂₉₉

Eléments caractéristiques

. sommets

:

B(O,b) ,

B,(0,-b)

. foyers

;

F(O,c)

a

^F,(O,-c)

. centre

:

^o(0,0)

. axe focal I

x:0

.directrices: D:v=+a _-c ) .excentricité: e=9rl

a

.

asymptote y -tl*

Exemple 1 : Déterminer

l'équation

d'une hyperbole de foyer

r(r,o), p'(-t,o)

_{et de}

_MF-MF,:4

Solution

I

Soit

u(x,y),

un point de cette hyperbole, d'après MF -MF,= 4,

Ona:

(r-t| *0-o)'+J("+ t)' +(y-o[

_=.a

JC-i ^{. y' *,[Ç4)' * y'}

^=a

JG 4j+ y' =4-,[ç,$)'

⁺

^y,

Élevet au carré les deux membres. on obtient :

(*4)'

+

y' :i6-8/(.r+

3)' *

y' +(x$)'

+

y'

s/(x+3)'

+

y'

=16+(x+3)' ^*

y' -(r4)' - y' '=-.;-

^{^}

8{(x+

3)' *

y'

_{= 16+ x2} + 6x +9 + yz

- x'

^{+ 6x}

-9 -

^y2

Élever au carré les deux membres, on obtient ^:

l,

_" I

afix + 3)' + y' ]=16+24x +9x2

I . .\

4V' *6x

+9+ y' ₎₌ 16+ 24x+9xz

4 x2 + 24 x +36 + 4 y2

:

l6 + 24 x +9 x2 5x2

-4y':20

On divise les deux membres

par

20, on obtient :

x'y'-t

::-/- =l 45

^c'est l'équation

d'une

hyperbole de

a:2

^{et b=-..6 .}

8J(,r + 3)'

* y'

_=16+l2x

211(x

+3)'

*

y'

₌ 4+3x

I 1. Sections coniques _| 300

Cette hyperbole

d'axe

focal

(où.

Exemple 2 : Déterminer l'équation d'une hyperbole de foyer

.(o,Jto),F'(0,-Jîô) .t

^{passant par le}

point

^(z,t).

Solution

D'après le problème, cette

hlperbole

a pour centre

o(o,o),

axe focal

(oy)

et

r=Jto

Donc cette hyperbole a pour

équation,

5-# ^='r,

^"

^{: J uz;I}

Cette hyperbolç paise pai le

point

(z

,t)= I -l

^{= t}

941

---=l

a'

^b2

":J;\b2 o"2:o2 ^*u2 _=(Jtof :rc

D'où

b2 =10-a2

Reporter

b2:tl-a'

^dans

#-#=l

on obtient

,l-fil

e(l o

-

^o'

)-

^4o'

^l:

^{o' (to}

- ^o')

9O-9a2 -4a2 -7Oa2 +aa =0

ao

-23a'+90:

^o

("' -n)("' -s):

^o

-a2

=18

^{otù a2} =5

On saitque

4<c donc

^a2

:5 et

b2

=10-a2=10-5:5.,

L'équation cherchée est

àonc 4 ₅₅ -{ ^=,

3.

Équation

d'une

hyperbole de

centre

(h,k)

Remplacer

x

^par

x-h

^et

y par y-fr dansl'équation 4-*=t _a'

_b'

I

onobtient

, ry_(, ^_$=,

Éléments

caractéristiques

.

^{centre : (h,k)}

sommets

:

^A(a+

h,k),

A' (-a + h,k)

foyers ^: F(c+h,k)

et f'(-c+h,k)

.

axe

focal : À;y:k

)

. directrices

:

^D:

x: +!-

11

c

ll.

Sections coniques

l30l

L'équation est de la forme

, ry*ff=,

. centre

:

^(h,k)

. sommets

: ^B(h,b+k) a ^B'(h,-b+k)

. foyers

i

^F(h,c+k)

^et r'(h,-c+k)

. axe focal : A,:x--h Eléments caractéristiques

. directrices :

D: y-xt+t

Exemple

I

^: Déterminer le centre, les sommets et les foyers

d'une

'hyperbole

d'équation b:!- ⁰

_{^1,I =} r .

169

Solution

D'après

l'équation \f ry=l,

^{on a}

^{: h:4, k=3, a=4}

^et

b=3 donc c:J76+9 =5

^{on obtient donc:}

I

l.

Sections coniques _| 302

. le centre

:

^(4,3)

. foyers

1

^F(4+5,3)

et r'(4-5,3)

soit r1e,

! ^et

^F'(-1,3)

. sommets

:

A(4+4,3) ,

A'.(4-4,3)

soit A(8,3) , ^A',(0,3).

Exemple 2 :

Soit A,'ùnpoint

d'une

hlperbole

d'équation

c+ ₉₁₆ -b:I:l ^tel

^eu.-

^AF=3.

Calculer la

longuettr

AF'.

Solution

*r13- tl=)xf

_=g

fl-t =6 lt

:-3neconvient _pas

<=l

^<+l

l3-t:-6 lt

⁼⁹

D'aprèsl'équation

ry-+Ï:1,

^on

^{a; h=t, k:2, e:3}

^et

^b:4.

On suppose

AIi':t, t)o,

^on obtient donc :

ff ^{-W1:lg- tl:2o}

C'est-à-dire

AF':9.

4.

Cas général

L'équation

d'une

hyperbole est de la forme :

,4x2 +By2

+Cx+Dy+E

_{=0, avec}

A et B

sont deux réels de signes contraires.

Remarque

On vérifie que l'équation de

la'forme

Axz + By' + Cx + py _{+ E}

=0, A

et

B

sont

deux

els de même signe n'est ^pas toujours l'équation de I'ellipse.

Exemple : Déterminer le centre, les sommets et les foyers d'une hyperbole

d'équation

4x2 -

y'

+ 24 x + 4y + 28 = ^{0 .}

Solution

Ona:

^,

4xz -y2

+24x+4y+28:0

e

^{4(x2 +6x}

+9)-36-(y' _-4y

+ 4) +

4+28=0

e4(x+3)2

-(y-2)'=4

ll.

Sections coniques _| 303

D'où h=-3, k=2, a:l ^{et b=2}

^et

c:rl1+4=Ja

Donc . le centre est

(-:,2)

. les sommets

sont (t-l,z)

et

(-t _-3,2) ou (-z,z) _et (-+,2)

. les foyers sont

f ^{l- $,?)et} f

^r

^{* Ji}

^,z).

Remarque

On

vérifie

que l'équation de la forme Ax2 + By' +Cx+ Dy+

E:o,

A et B

sont deux.réels

de .

.'

signes contraires n'est pas toujours l'équation d'une hlperbole.

Exemple _{: Soit} une

équation

^4x2 _{-3y2 +8x}

+t2y-8:0.

On a

;

^4x2 _{-3y2 +8x+}

l2y-B=0

I

e

^4(x2

+2x+l)-4-3(y' _-4y+4)+12 -8:0 e 4(x+t)' _-3(y -2)' ⁼⁰

e3(y-2)'=a(x+lf

e ^(y-2)' =!Q*$

J

ë y-2={JG*r)r =tft|,+rl

ë y- -J3rl t+lx+ll+2 ).'

c'est l'équation de deux droites.

=l

_l

€.

I

l.

Sections coniques _I 304

Exercices

l.

Déterminer

le

centre, les sommets, les foyers et dans un repère ofthonorm

e (o;i ,j)

^{tracer la} courbe représentative de chacune des hyperboles suivantes.

a.

^9x2

-l6y'-54x:63 ^b. y'-6x'+2y+36x=59

c.

^2x2 _-3y2

-2Ox-24y-4--0 ^d.

^2y2

^-3x' -8y+6x-l=0 2.

Déterminer la nature de chacun des sections coniques suivantes puis

dans un repère orthonorme

(o;î,/=) tru..r

la courbe représentative.

a. y'=x+3 b. ^x'+3y=l

C. y':2y+x _d. x'-y:3x-l

e. x'+4y2+x+6y:O f. 6x2+2y2-l2x+8y+9=0 g. ,t _-f2 =-l ^h.

^2x2

_-y' :3-4x

i.

^(rx+ syY

:(er-r)(sy+z).

3.

Déterrniner

l'équation

d'une hyperbole passant par le

point (:,-t)

dont deux sommets sont les foyers d'une hyperbole d'équation I6xz -9 ^y2

-96x +36y-36

_{= 0.}

4.

Dans le plan

muni d'un

repère orthonormé ^(o;1,

j), _soit

).

e8

^{et k e} fr* . Pour tout coup_le (.1,, /r) qui associe à la courb e Ce*)

d'équation(t+2b'*(1-2)y'=1ç; '

'

a.

Étudier la courbe Cp,*y, C(r,rl

et

Cç,.0)

b.

Montrer que les courbes de deux sections coniques d'équation 3x'+y2

=12 et 3t'-y' =6 sont

C,,o).

c.

Soit ^,a

*-1,0, I et

/r une constante. Selon

i,

^{discuter les}

sections

coniques

C0,ù.

d.

Déterminer

l'axe

focal et

calculer e'

en fonction

de

^À.

5.

_Quelle est la nature de la courbe représentative d'équation

,'-y'=x-y

^?

a.

^{Une droite}

b.

Une hyperbole

c.

Deux droites parallèles

d.

Deux droites perpendiculaires

l l. Sections coniques ₁ 305

6.

Quels sont ^les sommets d'une hyperbole d'équation l6x2

-9

^y2

-64x-54y-l6l

^{= 0 ?}

a. (t,-t)

^et

(-:,-r) b. ^(s,-r)

^et

^(-t,-r) c. _Q,z)

et (2,-a)

d.

(z,o) et

(2,-o).

7. Soit r(.r,y)

un point

d'une

hyperbole d'équation

x'-4y'+24y-32=o

et de foyers

F, F' Calculer

PF -.PF:

.

^.

?r

.€i

2

I

l.

^Sections

coniques

_| 306