TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

EI3a 2005-2006

Devoir surveillé N°1

Documents autorisés

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I – NUMERISATION

Un circuit de traitement numérique haute fréquence comprend un convertisseur analogique- numérique d’une résolution N = 14 bits. Le pas de quantification est q = 0,5 mV et la fréquence d’échantillonnage est f_e = 20 MHz.

1)

En mode bipolaire

, l

e signal d’entrée peut varier entre -A_max et +A_max. Quelle est la valeur de A_max (à un demi pas de quantification près) ?

2)

On applique à l’entrée le signal analogique x t_a( )= ⋅A cos(2πf t₀ +θ). On supposera qu’il n’y a jamais « écrétage », c’est-à-dire que A≤A_max^.

Exprimer le signal numérique x(n) obtenu pour f₀ = 3,75 MHz. Quelle est sa période P en nombre d’échantillons ?

Représenter x(n) sur une demie période du signal analogique pour θ = 0.

3)

Quel est, en décibels, le meilleur rapport signal à bruit pouvant être obtenu ?

4)

Des contraintes de linéarité imposent A=A_max/ 2. Quel rapport signal à bruit obtient-on dans ces conditions ?

5)

Intégré sur la même « puce », ce convertisseur comprend un échantillonneur-bloqueur dont le paramètre le plus critique est la gigue d’échantillonnage, c’est-à-dire l’incertitude ∆t sur les instants d’échantillonnage.

Exprimer littéralement l’incertitude maximale ∆x sur les échantillons en fonction de ∆t, de A et de f₀.

6)

Considérant que A=A_max / 2 et que f₀ = 3,75 MHz, en déduire la valeur maximale admissible de la gigue ∆t si l’incertitude ∆x ne doit pas dépasser q/2.

7)

Que devient la condition sur ∆t si la fréquence f₀ du signal analogique est à la limite de Shannon ?

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II – FILTRAGE PASSE-HAUT

1)

On considère le signal numérique suivant de durée illimitée (−∞ < < +∞n ) :

x n₁ n

2 4

( )=sin

F

+

HG I

π π

KJ

Représenter graphiquement ce signal. Donner les valeurs possibles de la fréquence f₁ du signal analogique initial sachant que le pas d’échantillonnage est T_e = 1 µs et que l’on n’a pas obligatoirement respecté la condition de Shannon.

Quelle est la période P, en nombre d’échantillons, de x₁(n) ? En déduire sa puissance P_x1.

2)

On applique x₁(n) à l’entrée du SLIT de réponse impulsionnelle : h n₁ 1 0 1

( )=

RS T A UV W

Exprimer littéralement la sortie y₁(n) en fonction de h₁(n) et x₁(n) puis la calculer.

3)

Exprimer la réponse en fréquence H₁(f) de ce SLIT sous la forme R f₁( )⋅e^{j fβ1} dans laquelle R₁(f) est une fonction réelle de la fréquence, puis tracer son module |H₁(f)| dans le domaine [0, f_e/2].

Donner la raison pour laquelle cette réponse en fréquence aurait permis de prévoir le résultat obtenu pour y₁(n) au 2) précédent sans autre calcul.

4)

Quelle sera la réponse y n₁′( ) au signal x₂ n 2 n n

2 3 3

( )= ⋅sin

F

− cos 4

HG I

KJ

^{+ ⋅}

F

HG I

π π π

KJ

?

5)

Soit le SLIT de réponse impulsionnelle h₂ n 1 2 1 ( )= −

RS A

T UV W

^.

Exprimer sa réponse en fréquence H₂(f) sous la forme R₂( )f ⋅e^jβ2f dans laquelle R₂(f) est une fonction réelle de la fréquence.

6)

Tracer le module |H₂(f)| et la phase ϕ2(f). Calculer |H₂(f)| et ϕ2(f) pour f_e/4 et f_e/8.

En déduire la réponse y₂(n) de ce SLIT au signal x₂(n) de la question 4).

7)

On met les deux SLIT précédents en cascade. Calculer la réponse impulsionnelle globale h₃(n).

8)

Exprimer le réponse en fréquence globale H₃(f) et tracer son module. Calculer la réponse y₃(n) au signal :

x n₃ 0 1 2 n n n

2 3 3

4

3 ( )= , + ⋅sin

F

− cos sin 4

HG I

KJ

^{+ ⋅}

F

HG I

KJ

⁻

F

HG I

π π π π

KJ

9)

Le dernier terme est en fait le signal utile et les trois premiers des signaux « parasites ».

Quel est l’intérêt de ce filtre ?

Calculer la rapport signal à bruit, en décibels, avant et après filtrage.

10)

Ce filtre est de type passe-haut car le module de H₃(f) est maximal pour f = f_e/2.

Calculer la valeur du facteur d’échelle K tel que K H⋅| ₃(f_e/ )|2 =1.

Quelle est la réponse impulsionnelle h(n) correspondant à H f( )= ⋅K H| ₃(f_e/ )|2 ?

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III – FILTRE RESONANT

On souhaite réaliser un filtre numérique résonant équivalent à un filtre RLC parallèle analogique. La structure de réalisation est représentée ci-contre.

1)

Ecrire la relation de récurrence exprimant y(n).

S’agit-il d’un filtre à RIF ou à RII ?

2)

Exprimer la fonction de transfert en Z et calculer ses pôles.

3)

On donne b₁ = -1,307 et b₂ = 0,859.

Ce filtre est-il stable ?

4)

Exprimer la réponse en fréquence H(f). On donne à a₀ la valeur telle que H(0) = 1. Quelle est cette valeur ?

5)

Si la résonance existe, elle se produit à la fréquence f f

Ar b b

b

0 e 1 2

2 2

1

=

L

− 4+

NM O

QP

π cos ( )

. En déduire la condition de résonance.

6)

Calculer littéralement puis numériquement le maximum H_m du module de H(f).

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Z^-1

+

+

Z^-1 x(n)

-b₁

-b₂

a₀ y(n)