Riesz Fischer
Maximilien Dreveton July 29, 2016
R´ef´erences Schwartz Analyse III, Candelpergher Brezis, Analyse fonctionnelle
Remarque : Preuve de Schwartz plus exp´editive.
0.1 Recasages
Passe `a l’aise 201 Espaces de fonctions : exemples et applications.
205 Espaces complets. Exemples et applications.
208 Espaces vectoriels norm´es, applications lin´eaires continues. Exemples.
234 Espaces Lp, 1≤p≤ ∞.
235 Probl`emes d’interversion de limites et d’int´egrales.
241 Suites et s´eries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
247 Exemples de probl`emes d’interversion de limites.
0.2 Le d´eveloppement
Th´eor`eme 0.1. L’espace Lp(µ) (1≤p≤ ∞) est un Banach.
Proof. On montre d’abord les in´egalit´es d’H¨older et Minkovski, puis le caract`ere ev puis evn. Le caract`ere complet fera l’objet de la prochaine proposition.
In´egalit´e de H¨older In´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique : λ∈[0,1]a, b≥0 alorsaλb1−λ≤ λa+ (1−λ)b
(prendre le log et conclure par concavit´e de log).
H:=
R|f g|dµ
||f||p||g||q (1)
=
Z |f|p R |f|p
1/p |g|q R |g|q
1/q
dµ (2)
≤ Z
1 p
|f|p R |f|p +1
q
|g|p R |g|q
dµ (3)
≤ 1
p +1
q (4)
≤ 1 (5)
In´egalit´e de Minkowski On remarque||f||p = inf{λ >0/R
|fλ|pdµ≤1}
Soient λ, µavec R
|fλ|pdµ≤1 et R
|gµ|pdµ≤1
Z
f +g λ+µ
p
dµ = Z
λfλ +µgµ λ+µ
p
dµ (6)
≤ Z
λ λ+µ
f λ
p
+ µ
λ+µ g λ
q
(7)
≤ 1 (8)
La premi`ere in´egalit´e est justifi´ee via la convexit´e de t−> tp (carp≥1).
Donc ||f+g||p ≤inf(λ+µ) =||f||p+||g||q Lp espace vectoriel p=1 ou p=∞ OK
Soit 1< p <∞ etf, g∈Lp. Alors :
|f(x) +g(x)|p ≤
|f(x)|+|g(x)|p
(9)
≤
2 max(|f|,|g|)p
(10)
≤ 2p
|f(x)|p+|g(x)|p
(11) doncf +g∈Lp.
De plus, λf ∈Lp pourλscalaire (trivial).
Lp norm´e On v´erifie ||.||p est une norme. Le caract`ere d´efini positif est trivial. Pour l’in´egalit´e triangulaire, on a :
||f+g||pp = Z
|f +g|p−1|f+g|dµ (12)
≤ Z
|f +g|p−1|f|+ Z
|f+g|p−1|g| (13)
(14) Or |f+g| ∈Lq donc Holder donne :
||f +g||pp ≤ ||f +g||p−1p ||f||p||f +g||p−1p ||g||p (15)
||f+g|| ≤ ||f||p+||g||p (16)
Proof. Montrons que toute s´erie absolument convergente est convergente.
Soit (un) une suite d’´el´ements dansLp telle que
∞
X
n=0
||un||p <∞ (17)
On va raisonner en 3 ´etapes :
0/ Montrer l’in´egalit´e de convexit´e d´enombrable, cadP∞
n=0|un| ∈Lp et
∞
X
n=0
|un| p ≤
∞
X
n=0
||un||p (18)
1/P∞
n=0un(x) converge pour presque toutxdans I (au sens de la mesure consid´er´ee, ici de Lebesgue pour simplifier).
2/ f =P∞
n=0un∈Lp(I)
3/ limN||fN −f||p= 0 o`ufN =PN n=0un
Etape 0 Voir le th´eor`eme 0.3.
Etape 1 On utilise l’in´egalit´e de convexit´e g´en´eralis´ee d´enombrable `a |un|: 0≤
∞
X
n=0
|un| p≤
∞
X
n=0
||un||p <∞ (19)
En particulier :
0≤ Z
I
X∞
n=0
|un(x)|p
dx <∞ (20)
Notons B l’ensemble des x ∈ I pour lesquels la s´erie P
|un(x)| diverge, et sup- posons λ(B)6= 0. Alors la suite N →PN
n=0|un| tends vers +∞ sur cet ensemble B de mesure non nulle, et il en est de mˆeme pour la suite N →PN
n=0|un|p, ce qui contredit l’in´egalit´e 20.
Autrement dit, la convergence de la s´erie P∞
n=0||un||p implique λ(B) = 0.
Etape 2 On a par ce qui pr´ec`ede que P∞
n=0|un| ∈Lp. Or :
Z
I
∞
X
n=0
un
p
dx≤ Z
I
∞
X
n=0
un
!p
dx <∞ (21)
doncf =P∞
n=0un∈Lp(I)
Etape 3 On sait quefN =PN
n=0un converge pp vers f. Et on a la majoration :
|fN−f| ≤
∞
X
n=0
|un| ∈Lp (22)
La convergence domin´ee assure alors :
limN ||fN−f||p= 0 (23)
Conclusion La s´erie PN
n=0unconverge simplement en norme p versP∞
n=0un. DoncLp est complet.
0.3 Suppl´ements
Th´eor`eme 0.3. (In´egalit´e convexit´e g´en´eralis´ee, version Schwartz)
Soient (Ω, S, µ) un espace mesur´e quelconque, p un r´eel ≥ 1, (fn)n une suite de fonctions d´efinies µ-presque partout sur Ω `a valeur positives finies ou infinies. On a l’´egalit´e de convexit´e d´enombrable g´en´eralis´ee :
∞
X
n=0
un p≤
∞
X
n=0
||un||p (24)
Proof. L’in´egalit´e de Minkowski + une r´ecurrence facile donne, pour tout N entier na- turel :
N
X
n=0
un p≤
N
X
n=0
||un||p ≤
∞
X
n=0
||un||p (25)
On va alors appliquer Beppo Levi `a la suite croissante (gm) : gm=
Xm
n=0
un
p
(26) dont la limite est la fonction
g=X∞
n=0
unp
(27) On a (Beppo Levi) :
n→∞lim Z
I
gm(x)dx= Z
I
g(x)dx (28)
Z Xm p Z X∞ p
Par continuit´e detp, on a donc
m→∞lim
N
X
n=0
un
p p =
∞
X
n=0
un
p
p (30)
Enfin, en passant `a la limite dans l’´equation plus haut, on obtient l’in´egalit´e voulue.
Th´eor`eme 0.4. Soit E un evn. Si toute s´erie P∞
n=0un d’´el´ements de E, dont la s´erie des normesP∞
n=0||un|| est convergente, est aussi convergente, alors E est complet.
Proof. On doit v´erifier que toute suite de Cauchy de E est convergente.
Soit (xn) une suite de Cauchy. Quel que soit l’entierk≥0, on peut trouver un entier pk tel quem≥pk, n≥pk entraine||xm−xn|| ≤1/2k.
On choisit ainsi les pk les uns apr`es les autres, de sorte que (pk) soit une suite strictement croissante.
Consid´erons la s´erie :
xp0 + (xp1 −xp0) + (xp2 −xp1) +. . .
La s´erie de ses normes est major´ee par la s´erie convergente suivante :
||xp0||+ 1 + 1/2 + 1/4 +. . .
En vertu des hypoth`eses faites sur E, la premi`ere s´erie est elle mˆeme convergente, donc la suite partielle des (xpn) est convergente. Or, la suite (xn) est de Cauchy, et admet une suite extraite qui converge (ie une valeur d’adh´erence) : donc (xn) converge, et E est bien complet.
Proposition 0.5. Lp complet
Proof. Montrons que toute s´erie absolument convergente est convergente.
Soit (un) une suite d’´el´ements dansLp telle que
∞
X
n=0
||un||p <∞ (31)
Posons : fN =PN n=0uk
Etape 1 : Montrer l’in´´ egalit´e de convexit´e d´enombrable, cadP∞
n=0|un| ∈Lp et
∞
X
n=0
|un| p ≤
∞
X
n=0
||un||p (32)
Etape 2 : En d´eduire quef =P∞
n=0un∈Lp
Etape 1 On va montrer :
∞
X
n=0
|un| p ≤
∞
X
n=0
||un||p (33)
Etape 2 On a par ce qui pr´ec`ede que P∞
n=0|un| ∈Lp. Or :
Z
I
∞
X
n=0
un
p
dx≤ Z
I
∞
X
n=0
un
p
dx <∞ (34)
doncf =P∞
n=0un∈Lp
Etape 3
