Abgabetermin: Dienstag, 21. Juni 2011, vor der Vorlesung

Dr. Daniel Greb SS 2011 Dr. Andreas Höring

Übungsaufgaben zur Funktionentheorie 6. Blatt

Abgabetermin: Dienstag, 21. Juni 2011, vor der Vorlesung

Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen.

Aufgabe 6-1 (4 Punkte):

Es sei D ⊂ _C die Einheitskreisscheibe.

a) Es sei a ∈ D. Wir definieren

ϕ

: D → _C, z 7→ ^z − a az − 1 .

Zeigen Sie, dass ϕ

( _D ) ⊂ _D und ϕ

◦ ϕ

= id

. Zeigen Sie, dass ϕ

: D → _D biholo- morph ist.

b) Es sei ψ : D → _D eine biholomorphe Abbildung. Zeigen Sie, dass ein ω ∈ _{C mit}

| ω | = 1 und ein a ∈ _D existieren so dass gilt:

ψ ( z ) = ω z − a

az − 1 ∀ z ∈ _D.

Hinweis: Aufgabe 5-4.

Aufgabe 6-2 (4 Punkte):

Eine Funktion f : C → _C heißt doppelt-periodisch falls es zwei R-linear unabhängige Vektoren ω

, ω

∈ _C gibt so dass gilt:

f ( z ) = f ( z + ω

) = f ( z + ω

) ∀ z ∈ _C.

Zeigen Sie, dass eine doppelt-periodische holomorphe Funktion konstant ist.

Aufgabe 6-3 (4 Punkte):

Es seien f : C → _C und g : C → _C holomorphe Funktionen so dass gilt:

| f ( z )| ≤ | g ( z )| ∀ z ∈ _C . Zeigen Sie: Es existiert ein λ ∈ _C so dass f ≡ λg.

Aufgabe 6-4 (4 Punkte):

Es sei G ⊂ _R

' _C eine offene Menge. Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion h : G → _R heißt harmonisch, wenn gilt:

∆ h : = ^∂

2

h

∂x

+ ^∂

2

h

∂y

≡ _0.

a) Es sei f : G → _C, z = x + iy 7→ f ( z ) holomorph. Zeigen Sie, dass Re f ( x, y ) und Im f ( x, y ) harmonisch sind.

b) Es sei nun G ⊂ _R

' _C eine sternförmige offene Menge und h : G → _R harmonisch.

Zeigen Sie, dass h Realteil einer auf G holomorphen Funktion ist.

1

2

Hinweis: Betrachten Sie die 1-Form −

dx +

dy.

Aufgabe 6-5 (8 Bonuspunkte

):

Es sei G ⊂ _C ein Gebiet und α eine stetig differenzierbare geschlossene 1-Form auf G.

Das Ziel der folgenden Aufgaben ist das Integral von α über einen stetigen Weg γ zu definieren und zu zeigen, dass dieses Integral invariant unter Homotopie ist.

a) Es sei γ : [ a, b ] → G eine stetige Kurve. Zeigen Sie, dass es eine endliche Zerlegung a = t

< t

< . . . < t

= b

und offene Kreisscheiben D

⊂ G gibt, so dass

γ ([ t

, t

]) ⊂ D

∀ j = 1, . . . , m.

b) Es sei j ∈ { 1, . . . , m } . Die Kreisscheibe D

⊂ G ist konvex, daher existiert nach dem Lemma von Poincaré eine Funktion β

: D

→ _C so dass dβ

= α |

. Zeigen Sie, dass man die Funktionen β

so wählen kann dass gilt

β

|

= β

|

∀ j = _{1, . . . , m} − 1.

c) Wir definieren

Z

γ

α : = β

( γ ( b )) − β

( γ ( a )) . Zeigen Sie, dass R

γ

α nicht von der Wahl der Funktionen β

abhängt.

d) Zeigen Sie: Wenn der Weg γ stetig differenzierbar ist, so gilt Z

γ

α =

Z

[a,b]

γ

α,

d.h. die Definition aus c) stimmt mit der Definition aus der Vorlesung überein.

e) Es seien nun γ

: [ a, b ] → G und γ

: [ a, b ] → G stetige Kurven mit Endpunkten p : = γ

( a ) = γ

( a ) und q : = γ

( b ) = γ

( b ) und H : [ a, b ] × [ 0, 1 ] → G eine Homotopie zwischen den beiden Kurven. Zeigen Sie, dass

Z

γ1

α =

Z

γ2

α.

1

Diese Aufgabe ist nicht besonders schwer, aber etwas technisch.