Dr. Daniel Greb SS 2011 Dr. Andreas Höring
Übungsaufgaben zur Funktionentheorie 7. Blatt
Abgabetermin: Dienstag, 28. Juni 2011, vor der Vorlesung
Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen.
Aufgabe 7-1 (4 Punkte):
a) Bestimmen Sie alle möglichen Werte von i
iund (− 1 )
√i
.
b) Es sei Log : C
∗\ R
−→ C der Hauptzweig des Logarithmus. Bestimmen Sie ein möglichst großes Gebiet G ⊂ C
∗so dass Log ◦ Log : G → C holomorph ist.
Aufgabe 7-2 (4 Punkte):
Es sei f : C → C eine ganze Funktion, die nicht konstant ist. Zeigen Sie, dass f ( C ) dicht in C ist.
Aufgabe 7-3 (4 Punkte):
a) Geben Sie ein Beispiel für eine bijektive, differenzierbare Abbildung f : R → R so dass f
−1: R → R nicht differenzierbar ist.
b) Es sei U ⊂ C ein Gebiet und f : U → C eine injektive und holomorphe Abbildung.
Wir setzen V : = f ( U ) . Zeigen Sie, dass V offen und f
−1: V → U holomorph ist.
Aufgabe 7-4 (4 Punkte):
a) Es sei G ⊂ C ein Gebiet und h : G → C eine holomorphe Funktion. Zeigen Sie, dass sin
2h ( z ) + cos
2h ( z ) = 1 ∀ z ∈ G.
b) Es sei G ⊂ C ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Bestimmen Sie alle Paare ( f , g ) holomorpher Funktion f : G → C und g : G → C für die gilt:
f
2( z ) + g
2( z ) = 1 ∀ z ∈ G.
Hinweis: f + ig hat keine Nullstellen.
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