Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen.

Dr. Daniel Greb SS 2011 Dr. Andreas Höring

Übungsaufgaben zur Funktionentheorie 2. Blatt

Abgabetermin: Dienstag, 17. Mai 2011, vor der Vorlesung

Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen.

Aufgabe 2-1 (5 Punkte):

a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihen ∑ ^∞ k = 0 z

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und ∑ ^∞ k = 0 τ ( k ) z ^k , wobei τ ( _k ) die Anzahl der Teiler von k bedeutet.

b) Berechnen Sie die Taylorreihe von

1 z ² − 5z + 6 um z ₀ = 0 und bestimmen Sie ihren Konvergenzradius.

Aufgabe 2-2 (3 Punkte):

Es sei P eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius 0 < R < _∞.

a) Zeigen Sie: Die Reihe P konvergiert absolut entweder für alle Punkte auf dem Rand des Konvergenzkreises oder für keinen Punkt auf dem Rand des Konvergenzkreises.

b) Geben Sie Beispiele für beide Fälle in a) an.

Aufgabe 2-3 (4 Punkte):

Zeigen Sie, dass es keine holomorphe Funktion f : C ^∗ → _C gibt so dass f ⁰ ( z ) = ¹

z ∀ z ∈ _C ^∗ . Aufgabe 2-4 (4 Punkte):

Es seien D ⊂ _C ein Gebiet und α, β : [ 0, 1 ] → D stetig differenzierbare Kurven mit α ⁰ ( t ) 6= 0, β ⁰ ( t ) 6= 0 ∀ t ∈ [ 0, 1 ] .

Es sei weiterhin t ₀ ∈] 0, 1 [ so dass α ( t ₀ ) = β ( t ₀ ) = : z ₀ , d.h. die beiden Kurven schneiden sich im Punkt z ₀ . Der Schnittwinkel der Kurven α und β in z ₀ ist nach Definition die eindeutige Lösung θ ∈ [ 0, π [ der Gleichung

cos θ = h α ⁰ ( t 0 ) , β ⁰ ( t 0 )i

|| α ⁰ ( t ₀ )|| · || β ⁰ ( t ₀ )|| ^, wobei h _{., .} i das Standardskalarprodukt auf R ² ist.

a) Sei nun f : D → _C eine holomorphe Abbildung so dass f ⁰ ( z ) 6= 0 für alle z ∈ D.

Zeigen Sie, dass der Schnittwinkel von α und β in z ₀ gleich dem Schnittwinkel von f ◦ α und f ◦ β in f ( z ₀ ) ist.

b) Geben Sie ein Beispiel für einen C ^∞ -Diffeomorphismus f : R ² → _R ² der diese Eigen- schaft nicht hat.

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