Prof. Dr. Stefan Kebekus WS 2010/11 Dr. Andreas Höring
Übungsaufgaben zur Linearen Algebra I 3. Blatt
Abgabetermin: Do, 11.11.2010, 8 Uhr
Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen. Falsche Aussagen widerlegt man am Besten mit einem Gegenbeispiel.
Aufgabe 3-1 (4 Punkte):
a) Bestimmen Sie x, y ∈ F
5so dass folgende Gleichungen gelten:
¯2x + ¯3y = ¯1
¯4x + ¯2y = ¯1.
b) Bestimmen Sie x, y ∈ C so dass folgende Gleichungen gelten:
( 1 + i ) x + iy = 1 ( 2 + i ) x + ( 1 + 3i ) y = 1.
Aufgabe 3-2 (4 Punkte):
Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und V
1, V
2seien Untervektorräume von V.
Zeigen Sie:
V
1∪ V
2ist ein Untervektorraum von V ⇔ V
1⊂ V
2oder V
2⊂ V
1. Aufgabe 3-3 (4 Punkte):
Es sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Es sei I eine Menge und { V
i}
i∈Ieine Menge von Untervektorräumen von V. Zeigen Sie, dass der Durchschnitt
\
i∈I
V
i: = { v ∈ V | v ∈ V
i∀ i ∈ I } wieder ein Untervektorraum von V ist.
Aufgabe 3-4 (4 Punkte):
Es sei N die Menge der natürlichen Zahlen. Wir bezeichnen mit + beziehungsweise · die Addition bzw. Multiplikation der natürlichen Zahlen. Ziel dieser Aufgabe ist es mit Hilfe von Äquivalenzrelationen die aus der Schule bekannten ganzen Zahlen Z sowie die Multiplikation der ganzen Zahlen formell richtig zu definieren.
Für beliebige ( a, b ) und ( c, d ) in N × N definieren wir folgende Äquivalenzrelation
1auf der Menge N × N
( a, b ) ∼ ( c, d ) ⇔ a + d = b + c.
Wir bezeichnen mit Z die Menge der Äquivalenzklassen N × N/ ∼ . a) Wir definieren auf Repräsentantenniveau
m : ( N × N ) × ( N × N ) → ( N × N ) , ( a, b ) , ( c, d ) 7→ ( a · c + b · d, a · d + b · c ) .
1Sie müssennichtbeweisen, dass∼eine Äquivalenzrelation ist.
1
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