Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen. Falsche Aussagen widerlegt man am Besten mit einem Gegenbeispiel.

Prof. Dr. Stefan Kebekus WS 2010/11 Dr. Andreas Höring

Übungsaufgaben zur Linearen Algebra I 2. Blatt

Abgabetermin: Do, 04.11.2010, 8 Uhr

Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen. Falsche Aussagen widerlegt man am Besten mit einem Gegenbeispiel.

Aufgabe 2-1 (4 Punkte):

Es seien A, B, C Mengen und g : A → B und f : B → C Abbildungen. Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Falls f ◦ g injektiv ist, so ist f injektiv.

b) Falls f ◦ g injektiv ist, so ist g injektiv.

c) Falls f ◦ g surjektiv ist, so ist f surjektiv.

d) Falls f ◦ g surjektiv ist, so ist g surjektiv.

Aufgabe 2-2 (4 Punkte) Für x, y ∈ _Z definieren wir

R : = {( x, y ) ∈ _Z × _Z | x

− y

ist ohne Rest durch 5 teilbar } . Zeigen Sie dass dies eine Äquivalenzrelation auf Z definiert.

∗

-Aufgabe (gibt 2 Sonderpunkte) Zeigen Sie, dass

{ x ∈ _Z | x ∼ 1 } = { x ∈ _Z | x ≡ 1 mod 5 oder x ≡ 4 mod 5 } . Aufgabe 2-3 (4 Punkte)

Sei R die aus der Schule bekannte Menge der reellen Zahlen. Eine Abbildung der Form x 7→ ax + b wobei a und b reelle Zahlen sind heißt affin. Sei nun

G : = { f : R → _R | x 7→ ax + b, a ∈ _R \ { 0 } , b ∈ _R }

die Menge der affinen, nicht konstanten Abbildungen von R nach R. Wir bezeichnen mit

◦ die Verknüpfung von Abbildungen. Zeigen Sie, dass ( G, ◦) eine Gruppe ist.

Aufgabe 2-4 (4 Punkte)

a) Sei ( G, ∗) eine Gruppe. Sei a ∈ G so dass gilt a

= e. Zeigen Sie dass a

= a.

b) Sei ( G, ∗) eine Gruppe. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

i) G ist abelsch.

ii) Für alle a, b ∈ G gilt: ( a ∗ b )

= a

∗ b

.

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