Übungsaufgaben zur Linearen Algebra I 6. Blatt

Prof. Dr. Stefan Kebekus WS 2010/11 Dr. Andreas Höring

Übungsaufgaben zur Linearen Algebra I 6. Blatt

Abgabetermin: Do, 02.12.2009, 8 Uhr 15

Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen.

Erinnerung:

Gegeben eine lineare Abbildung f : V → W sowie angeordnete Basen B von V und B

von W , so bezeichnen wir mit Mat

( f ) die Matrix der Abbildung f bezüglich der angeordneten Basen B und B

. Wir werden oft den Fall diskutieren, dass V = W, aber B 6= B

.

Aufgabe 6-1 (4 Punkte):

Die Abbildung f : R

→ _R

,



 x y z



 7→





2x − y + z

− x + y − 3z y − z





ist linear. Berechnen Sie die Matrix Mat

( f ) bezüglich der Standardbasis

B =









 1 0 0



 ,



 0 1 0



 ,



 0 0 1









 und die Matrix Mat

( f ) , wenn

B

=









 1 1 1



 ,



 1 1 0



 ,



 1 0 0









 .

Aufgabe 6-2 (2 Punkte):

Es sei C der Körper der komplexen Zahlen und f : C → _C, z 7→ z die Konjugation.

a) Wir betrachten C als einen C-Vektorraum. Zeigen Sie, dass f nicht linear ist.

b) Wir betrachten nun C als einen R-Vektorraum. Zeigen Sie, dass f linear ist. Berechnen Sie die Matrix Mat

( f ) von f bezüglich der angeordneten R-Basis { 1 + 0 · i, 0 + 1 · i } ⊂ _C.

Aufgabe 6-3 (6 Punkte): Es sei R [ X ] der R-Vektorraum der Polynome in einer Variablen X mit Koeffizienten in R. Wir betrachten die Abbildung

d

dx : R [ x ] → _R [ x ] , P =

degP i

∑

a

X

7→

degP i

∑

i · a

X

.

a) Zeigen Sie den aus der Vorlesung bekannten Satz, dass

: R [ x ] → _R [ x ] linear ist.

1

2

b) Zeigen Sie, dass

: R [ x ] → _R [ x ] surjektiv aber nicht injektiv ist. Berechnen Sie ker

. c) Wir bezeichne mit R [ x ]

den Untervektorraum von R [ x ] der Polynome von Grad kleiner oder gleich d. Zeigen Sie, dass für alle P ∈ _R [ x ]

gilt:

( P ) ∈ _R [ x ]

. Wir er- halten also lineare Abbildungen endlich-dimensionaler Vektorräume

D

: R [ x ]

→ _R [ x ]

, P 7→ ^d dx ( P ) .

Wählen Sie eine angeordnete Basis B von R [ x ]

und berechnen Sie die Matrix Mat

( D

) von D

: R [ x ]

→ _R [ x ]

bezüglich der gewählten Basis.

Aufgabe 6-4 (4 Punkte):

Es sei K ein Körper und V ein K -Vektorraum von endlicher Dimension. Es sei f : V → V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind:

(1) E = Im f ⊕ ker f ,

(2) Im f = Im f

,

(3) ker f = ker f

.